L'équation

£/2 y I dy

dx- 2 dx

s'intégre par un changement de variable très simple. 10. Si y est solution de

d^y j, £/r ^^ ^ dx- dx • '

yc^ sera solution de

d-y „ dy

dx- dx

(Lebesgue.) 11. Intégrer

d'^y 1 dy

dx^ X dx

, sin.r , .

sachant que est une solution.

iû. Les polynômes Uo. Li, Uo, ... défini-; |iar l'équation

satisfont à l'équation

cl- y dv

ax- dx

on ilcmande d'intégrer cette équation et de prouver que

U„+i = x\},i^ nV),i-\- (Laguerre, Bulletin de la Société matliénialique, t. VU)

i;{. L'équation

d- y dy

, ■- — ax -f — h \i.av = o dx- dx

a pour solution

■i. a 'la .^ a

( Steen.)

I. — Remarques sur le calcul inverse des intégrales définies.

11 esl, en général, impossible de Iroiiver une fonction '^{jc) satisfaisant à l'équation

(i) fiJ:)= f -l/l^, z)o(z)dz.

/{:•) et 'i>(^, :•) désignant des fonctions données et a, b de> nombres donnés. En effet, si/(.r) devient infini, ■:>[z)'}j{x, z) devient hii-mèine infini, mais l'équation

sera satisfaite, en général, pour des valeurs de x et :; variant simultanément d'une manière continue, de sorte que l'intégrale sera infinie pour des valeurs de x formant une suite continue; la fonction y(j:) sera donc infinie j)our une suite continue de valeurs de x, ce qui n'a pas lieu en général. Ainsi l'on ne saurait avoir, quel que soitx.

enelfel, pourj;^^ o, l'intégrale devant être infinie, il faut ipir <»(:;) soit infini entre — i et -j- i, et l'intégrale alors sera toujours iiifinu; : elle ne pourra donc en général représenter - •

(^uoi (ju'il en soit, si l'cf/iuition (i) admet une solution, ou, plus généralement, s' il existe une Jonction h(x, z), telle

ET IDE UE QUELQUES ÉQLAllO.NS LINÉAIRES. I 85

<Hie l'on ait

il en existera une infinité d'autres de la forme

775 désignant une fonction arbitraire.

En e(Tet, soit 0(j;, z)^-/{x, z) une autre solution (s'il n'en existe pas d'autre, y sera nul), on aura

f{x)r= f 6(x. z)dz-^ f y{x, z)rlz

(2) ^ '/{x, z)dz =0:

on y satisfait en prenant

d'ailleurs toute solution de (î) est de celte forme; car, si •/(;, x) satisfait à (2), on a identiquement

y(x, z) = y(x, z)— ^^-^ / /(x, z)dz.