II. Résolution d'un problème

PuOBLJiME ï. — Tromer une fonction '-p„(-^), telle que l'on

ait

(1) / ^{x)':^n[^)dx = 0,

^{x) désignant un polynôme arbitraire de degré n — 1. Soient '^,';'(j:), c5~^(x), ... les intégrales successives de

l86 CHAPITRE IV.

^„(x), prises de manière à s'annuler pour j:" = /7 ; on a, en intégrant par parties, le premier meml)re de (i)

Celte formule avant li(Hi, (pielle que soit la fonction ^{x) de degré « — i , faisons successivement 0(x)= i , x,x'-, . . . x"'*, nous aurons

o-'(6) = o. o-2(^»)==o, .... cp-"(6)=o:

la fonction cp"" (a:) ayant toutes ses dérivées nulles pour j; = a el X ^ h, jusqu'à la (n — i^'^e inclusivement, on aura

ra-"{x) = {.r — a)"{x — b)'''l)(or).

'^{x) étant fini pour x = « cl x ^= b, et Ton voit d'ailleurs, a posteriori, que toute expression de la forme précédente satisfera à la question. On en conclut

'^"^''^= d^> [iT~a)"{x-b)n<l{x)l et, sans nuire à la généralité, on peut aussi poser

o„(x)= -, — î ^ , — \(x — a)"{.r— byi'lix)];

o„{x) est alors le coefficient de t" dans le développement de '^(^) -7-» - désignant la racine de l'équation

qui peut se développer par la formule de Lagrange (p. 35 j, t. III). Cette dernière formule donne en elTet

"^ 1.2.3... « dx'~^ L ( b — a y J '^"'

et, en difFéren liant,

(Iz d \{x — a){r — b^ , , ,1 .

-, 7 — \{x — rt)"(.r — 6)''•l(x)l-^...,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Quand on suppose a^= — i , ^ = -h i , 'i'("P) ^ i , on a

•2 . 4 - • . i /i dx"

les fonctions c;, , 'j.o. . . . '^„. . . . , dans ce cas, sont ce que Ton appelle les polynômes de Legendre; Legendre les définissait comme étant les coefficients des diverses puissances de t dans

le développement de (i — itx + t'-^ ~ suivant les puissances de i; en effet, l'équation (2) se réduit dans le cas actuel à

d'où l'on tire

„ I =b y/l — ltX-^t'

dz 1

dx J

\ — itx-^ e-

il faut prendre le signe -7- devant le radical, parce que la racine que développe la série de Lagrange doit se réduire à x pour l = o, ce qui exige que dans la formule (3) on prenne le signe — ; si donc on pose

Xo-i-fXi-^...-i-^«X„-^....

on aura

I d'Hx''- — \Y