III. — Polynômes de Legendre
D'après ce que nous avons vu, on peut définir le pois nome \„ on X„(.r) de Legendre comme le coefficient de /" dans
le développement de (i — -itx-i-l'-) ' ordonné suivant les puissances de t, et, à ce point de vue, on a
I rdz(i-izx---zn''
rinlégrale étant prise le long d'un cercle décrit de Toriginf comme centre avec un ravon moindre cpie un. le point x étant à l'intérieur de ce cercle. On a aussi, ci)minc on a vu,
et, par suite,
(3) X - ' ' /-(flul^li^f.
d'ailleurs, quel que soit le polvnùmc de degré n — i reprcsenlé par 0(x), on a
(4) f (i{x)\„dx=o.
Cliacune de ces propriétés va nous en fournir une foule d'autres.
l'^t d'abord, si nous posons
(5) y =(i~j.tx-n r') - = Xo^- Xi« -1-.. .-^.\„i!«-;-. . .,
on voit que. pour :r = i , j' se réduit à f i — /)"' , donc dans ce cas X,) = X| = X2 = . . • = ' ; ainsi :
Quand on suppose x = i, Ui fond ion X„ se réduÏL à r unité; de même, en faisant x= — i, on venait que
Si Ton fait x = o, v se réduit à (i -f- /-) ", dont le développeinent est bien connu; on en conclut que :
l^our X = o, on a X, = X:i = . . . = X^,/.,., = o,
On a, en posant x = cosv.
Cl l'on voit (}ue y sera dévcloppabic ])ar la foruiule (')); si t est moindre que l'unité, on a seulement un module moindre (pie l'unité. Tant que x sera compris entre -ri et — i, on «•onclut de la formule précédente et de la formule du binôme
r = (^i 4- - le" ''"-•r- -^ /•^'2Tv'~ + . . \ -f- •-'■•4
I go c II A I' I r H I- n .
et, par suite,
7 = 1-+-- «(eT^-^-T-e-y^)-^...
-L. fll + l ( ....
OU bien
y = 1 — l cosY -f-. . .
/ 1 . 3. . . 2/? -T- I -r 1.3...'. /< — 1 I ,wvr~r
2 /"+' I ' cos n Y -i ■ - cos n — 2 y — .
donc, en comparant avec (5),
/ 1 . 3 . 3 . . . 2 /i -^ I 1 . 3 ... 2 « — II \
A,,4-i = 2 nosnv -; ; ^ cos/i — 27-:-...
Cette valeur de X,, est évidemment maxima pour y = 0, ou pour cosv = I ; donc :
La plus grande valeur que puisse acquérir le polynôme \fi entre les limites — i et -\- \ de sa variable est égale à un.
On lire de (5)
dv - -
-^ =(l— 2/^-r/2) -{:v-ty,
ou bien, en mullipliant par (1 — itJC-r- <-),
dv -i
remplaçant "- etj)':=(i — -it.r -h /- ) ' par leurs dcvcloppoments déduits de (.")), on a
(I — 2 ^j-^r2)(X,-^ 2/ Xo-^ 3/2X3 -...) = (.r — /)(Xo-^ X,/-T-...);
en efTectuanl les produits indiques et en égalant de part et d'autre les coefficients de t" , on a
(G) (« — l)X„-Hl — (2« -7- \)\nX- -f- /iX,j i = O.
Celte formule prouve que X,, = o a toutes ses racines réelles et que les racines de X„, = o séparent celles de X„ = o^ toutes ces racines sont différentes et comprises entre — i et -\- i.
En effet, les polynômes Xq, X,, ..., X^ forment une suite de Sturm, puisque, X,/ s'annulant en vertu de (6), X,|^, et X«| sont de signes contraires ; X„^| et X,, ne peuvent s'annuler en même temps, sansquoironauraitaussiX«) =o, . . . , Xq = o ; or Xq = i . Enfin, pour X = i , la suite n'a que des pei'manences, puisque X„ = i ; pour x = — i , elle n'a que des variations, puisque X/; = ( — i)", donc, etc. c. g. F. u.
On déduit de (6)
multipliant la première formule par X//(;), la seconde par X„(j") et retranchant, on a
{•in -i-i)C-3 — ,r)X„(a;)X„(5)
— n[\,i{z)X,i^i{x)—\„{x)Xn-i{z)].
Faisons successivement ar = o, i, :>., ...,/?, et ajoutons les formules que l'on en déduit, il viendra
\\»{x)\^{z)-^-i\l{x)\i{z)-^...-^{-in-^l)\a{x)\n{z)]{Z—x)
= («^i)[X„+,(^;X„(.r)— X„(^jX„H.,(x)J ou. enfin
(;) ( ^^:^[^n+i(Z)\^{x)—\„{z)\a+xix)]
( =X„(^)Xo(^)+3X,(x)X,(^)-i-... + ('2«+i)X„(.r)X„(^j.
L'éqiialion ((3) periiiel de former les fondions X,, de proche
en proche ; on a
Xo= I, Xi = X,
et les polynômes X/^ sont allernalivemenl pairs et impairs, ce qui résulte de la simple inspection de la formule (^S), ou même de la formule (2).
La formule (2) nous montre (jue
\,„i){x)dx = o,
toutes les fois que 0(a:) est de degré /;/ — ■ 1 el, par suite, si ni est diflérenl de //,
/ y^m^ndr =0:
on peut se demander f|uelle est la valeur de l'intégrale qui entre dans cette formule, quand m = n. On trouve, en ap|)liquaiit la règle de l'intégialion par ])arlics,
(l'i(j.-i , y, (l,(jrî — iV
dx"
dx"
dx
d-"(T- — iV
dx-"
= ( — i)" / {x'—i)"i.i.3...i/idx\ en meltiinl j- — 1 sous la forme (.r-hi)(-/' — i ), une série
d'intégrations par parties conduira cndn à
X;-, dx = — '-^ —
On peut arriver autrement à cette formule. Élevons en effet au carré les deux membres de la formule (5) et intégrons de — I à -\- ï, nous aurons, en ayant égard à (8),
ou bien
^log^^ =...-T-r^« / \ldx
ou
en égalant les coefficients de l'-", ou trouve la formule (9).
IV. — Expression des fonctions X,, sous forme d'intégrales définies. Nous avons vu que l'on avait
■2 - /— I J ^« + 1 sj \ — 1ZX
l'intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon R plus grand que un. Marquons les deux points critiques
ou, en posant x = cos*',
z = en*^,
pour lesquels la fonction placée sous le signe Tdovient infinie.
Soient i et i' ces deux points; soit aa' une ligne joignant 1... — Traité d'Analyse, V. i3
CIIAIMTII!: lY.
deux poinls voisins de i cl i' , avec ia el Va' comme rayons : décrivons de pclils cercles p et p' aulour de i el i' : en dési-
Fis. 26.
gnanL i)ar (G), en général, l'intégrale prise le long du contour G, on aura, en supposant mod/ << 11,
(circ.R)= -r(art')-f-(p') + («'«)-^(p) et, comme (p) et (0') sont nuls et qun {aa') = {a' a),
(oa)
on a
X„ = ^.{aa') : ?.r /— i
i" Si aa' est une droite, alors il l'uut intégrer en posani
z = x + y \'— I , r/r = y/— 1 dy, depuis y = — sj 1 — ^jusqu'à yz=-\-sJ\ — x'-^eV Ton aura
zx -H z'^ {x -+- y s/ — I )"'^
Si l'on fait alors j- = y/ 1 — x-coscp, on a
(x -I- \/a"- — I coso)"'*''
ÉTLDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. IGO
en changeant ^ en - clans la formule (i), on a
