ij V

l-ZX -r- Z^

et; en traitant cette intégrale comme la précédente, on trouve X;i = - / d':/\x ^ \J X- — icosti)".

Enfin, en prenant pour contour d'intégration aa' l'arc de cercle décrit de l'origine comme centre et limité aux points / et f', on posera z- = e^^~' et Ton aura

ou

t:/— X r.\l—\ I v/i — acosve

9V-1( g2(jv'-l

'' -K)».'-rf(,

^' ^ v/2(cos6 — cosY) ou enfin

/cos(/i + ^J0rf6 /^(cosO — cosY)

V. — Développements en série de fonctions X„. Reprenons la formule (7), (p. 191)

( = Xo Zu — 3 X, Zi — . . , — ( V. « -;- 1) X„ Z„ :

196 CIlAPirilE IV.

si l'on intègre les deux membres de — i à + i , on a

f~z ■ (^«+1 ^« — -^«+1 L,i)dx — 2.

Multiplions les deux membres de (1) par la fonclion continue y(;) et intégrons de — i à -|- i , nous aurons

( Z„+, \n — X„+i 'La)j\^)ch

si l'on remplace X,, et Z„ par leurs valeurs (p. 190)

- v/2(cos6 — cosy)

\ ) 'i dr\

- V^2(C0STj — COSO)

le premier membre de (3) prend la lurme

' '' ( COS ( /i -i- 2 ) 0 COS ( /J -T- I) Tj j

-f- 1)t, cos(n-T-|)6 f(z)

r'' r' { cos{n-T- 2)0 ce

/ / j — cos(n-f- !^

/o t^o ( V^(cos6 — COS 7

Y)(cosr) — coso)

dz di) dr

et sous cette forme on voit que, si la fonction f{z) est de celles (jui ont un nombre limite de maxima et de minima, cette intégrale n'a de valeur sensible pour n ^ y: que si ^ est voisin

de JT, à cause des facteurs à courte période cos(/? + -j^, cos(/î H — jr,. On peut donc dans (3) supposer c- très voisin

de X, et resserrer les limites entre .r — s et .r -h î, s désignant !ine quantité très petite et positive; on peut alors faire sortir

/{:■) de dessous le signe / > cl l'on est ramené à clierclier la

limite de

J\^) / '^ \ < ^./-i-^/i — X„^iZ..,)rfj,

qui, en vertu de (2), est égale à 2/{x): on a donc, en faisant n = y: dans (3),

l/(^)=^-^o/ Z„J\z)dz^...

On trouve ainsi le développement de /(x) en série de fonctions X„ : pour que cette formule ait lieu, il n'est pas nécessaire quey(:c) soit toujours continue entre les limites — i et + I : il suffit que ses discontinuités ne soient pas de nature à empêcher les intégrations que l'on a été obligé de supposer {voir la théorie développée t. III, p. Sga). Si, pour z^=x, f{z) a deux valeurs /i et /"o, le premier membre de (4) doit

être remplacé par =— ' ^•

Si Ton pose

6n{x)=lx, Zo/(z)dz --...- ^^^"—^Xn Znf(z)dz,

le second membre de cette équation sera un polynôme 0«(x) de degré n, et, parmi tous les polynômes de degré n, ce sera celui qui s'approche le plus de f{x) ou, si l'on veut, pour être plus correct, ce sera celui qui rendra

" = / \f{X)- bn{x)\UlT

minimum. En elTet, tout polynôme ^„{x) peut se développer ainsi

^n{x) — AqXo-!- A1X1-T-. . .-f- A„\„,

A(,, A.|, ... désignant des cocfiicienls constants. Déterminons

iq8 ciiapitri: IV.

CCS coefficients de telle sorte que

u= f [/{x)— \oX^ — . . .— \,iXn]'-dx

soit luiniiiium. Pour cela, dificrcntions par rapport aux A, et soit 0 la caractéristique difFérentielle dans cette hypothèse, on aura

hi = z f [/(:r)-AoX„-...-A„X„](XooAo-^...^X„oA„)rf^.

Si l'on veut que u soit minimum, o« devra être nul, et par suite les coefficients de oAq, oA,, . . . devront l'être; remplaçant AoXfl-f-. . . + A„X„ par 0„(x), on aura alors

/ [f(x)-e„ix)\Xndx = o.

• ' - 1 / r/(x) — 0„(.r)JXo<:/^=o, d'où l'on tire, en général,

/ (■)n{x)\idx ou ;-:-^ = / X//(.r)

dx.

On en déduit, pour A/ le coefficient de X/dans le développement de/(j::). Celte propriété a été découverte par M. Plarr. Une théorie, toute semblable à celle ({ue nous venons de donner des polynômes X„, pourrait être faite pour les polynômes

î ^ \lx — aY(x — by>\\

mais, dans les intégrations, aux limites — i et -}- i il faudrait substituer a et b.

fi TU DE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 1 99