a dx"^ Posons

prenons les dérivées logarithmiques des deux membres de celte formule; nous aurons

i dz inx

z dx X- — 1

/ „ ^ dz

(x^ — I ) —, inxz = o ;

en diflerentiant n + i fois de suite au moyen de la formule de Leibnitz, on trouve

fln+l - dn-¥\ - fin -

(X- I) -; -^ n -]-i)-2X —, -j- ft ( /i -i- I ) -;

^ ' dx"+-^ ' dx''-^^ ^ ' dx"-

— inx — r — inin -\- \) —, — = o.

dx'^+^ ^ dx»'

Si l'on observe que -1— ]J est égal à X,i à un facteur constant près, cette formule deviendra

en sorte que X,^ est une intégrale particulière de réqiialion

d-y dy

dx'- dx

Voilà donc un type d'équations linéaires du second ordre, que l'on sait intégrer complètement au moyen de quadratures

200 ciiAi'iTiu-: IV.

quand n est entier. La formule

,. I dn(x- — \)"