VII. — Recherche directe des solutions singulières

Pour trouver les intégrales singulières de première espèce, nous sommes parti d'une intégrale générale

(i) n,=^o, 02 = 0, .... nv = o,

et nous y avons remplacé a,, «o, . . . , a^ par des fonctions telles que les valeurs de ^, j', ... tirées de (i) satisfaisaient encore aux équations différentielles à intégrer. Or on peut choisir rt, , o-^. ... constants et tels que, pour t = t^. I\r, Vy, le :;,... de l'intégrale générale soient les mêmes que Yx, l'j-,

le c:, . . . d'une inléirrale sinîrulièrc; mais alors, en calculant - , >

' .00' ' (Il

-'r-, • • • au moyen des formules (1), soit en y regardant les a comme des constantes, soit en les regardant comme des va-

riables, ils auront les mêmes valeurs, puisque l'on a

dn, dai dUi dao

dai dt dai <^^ '

pour la solution singulière aussi bien que pour la solution

, , 1 dx dy 1 1. 1)

générale, et que -^7 -^-7 ••• seront dans J un et 1 autre cas

donnés par les formules (i) et

dt ' dt ' dt '

où les a et les x, y, j, . . . , f ont les mêmes valeurs numériques ; il en résulte que :

Une intégrale singulière de première espèce a les mêmes

dx dy dz n • , 1 ' ■ 1 1 11 ,1

-TTi -T-j -^fi • ' • (jue l intégrale générale avec lac^uelle elle

coïncide.

De là un moven de se procurer les intégrales singulières de première espèce, sans qu'il soit besoin de connaître l'intégrale générale. Elles se composeront des valeurs de .TjJK, ^, . . . pour lesquelles -t-> -j-j -^j • • • seront susceptibles de deux systèmes de valeurs égales ; en d'autres termes, les équations

différentielles qui donnent —j-j -t--> ■•• devront avoir une * dt dt

solution double. Soient

(2) F, = 0, F, = 0, ..., Fv = o

ces équations, F,, Fo, . . . désignant des fonctions de x^y^

, dx , dv ni) 11 1 •

z, . . . , t, x= -j- , y = -j-f • • • ; 1 X, ly, ... de la solution

singulière satisferont à l'équation

Cette équation permettra d'éliminer une des quantités x', y, x/. . . .. On n'aura plus alors qu'à intégrer un système à v équations dont V — I seulement seront différentielles : la solution

sin:,Milièro renfermera alors v — i constantes arbitraires. On j)eul trouver les autres solutions singulières d'une façon analogue : pour trouver celle qui renferme v — 2 constantes, on

égalera à zéro non seulement le déterminant -ry-^r — r'-—— '

mais ses mineurs, ce qui fera deux équations distinctes; on s'en servira pour éliminer de (2) x' cl r' par exemple; l'intégration des équations résultantes fournira la solution demandée si clic existe, bien entendu.

Remarque. — La méthode que nous venons d'indiquer conduit aux solutions singuliéi'cs de première espèce quand elles existent; mais il sera indispensable de vérifier que les résultats trouvés par cette méthode fournissent bien des intégrales de l'équation proposée : j'ajoute même que, le plus souvent, lors même qu'il existera des solutions singulières, la méthode fournira des solutions étrangères.

Et en effet, en écrivant que le système (2) admet une solution multiple, nous exprimons qu'il existe deux solutions du système (2) présentant les mêmes x',y', z' , . . ; l'ensemble

des valeurs àe x, y, z j)our lesquelles cette circonstance

se présente, peut fort bien ne pas satisfaire aux équations (2). et en effet nous avons seulement remarqué que la solution singulière de première espèce était telle que ses ce', y', z', . . . étaient les mêmes que celle de l'intégrale générale avec laquelle elle coïncide; mais la réciproque n'a pas lieu nécessairement : nous le vérifierons sur des exemples.

VIII. — Interprétation géométrique pour le cas d'une seule équation.

Considérons une seule é(|ualion différentielle

Soit

son intégrale générale; elle représente, quand on y considère X et r comme les coordonnées d'un point, l'équation d'une famille de courbes dont le paramètre a est la constante d'intégration, (i) est alors V équation différentielle de cette famille de courbes.

Reprenons la théorie des solutions singulières dans le cas particulier qui nous occupe.

Supposons que «, au lieu de désigner une constante, représente une fonction de x (ou dey); pour que l'équation (2) fournisse encore une intégrale de (i), il faudra que les valeurs

dey et de -j- tirées de (2) rendent Ci) identique, c'est-à-dire

y satisfassent quel que soit x. Or -j~ se calculera en différentiant (2\ ce qui donne

( 3 » -^ dx -i- ^ dy -^ -r- da = o.

dx dy àa

Si l'on détermine alors a par l'équation

dF (4) - =0,

l'équation (3) se réduira à

(■j) -T- dx -i- ^— dy = o,

ax dy •"

comme dans le cas où a est constant; si alors on remplace

dans (i)jK ^t -^ par leurs valeurs tirées de (2) et (5), cette

équation, étant satisfaite quelle que soit la constante a, sera encore satisfaite quand a sera fonction de x tirée de (4), puisqu'en définitive elle ne contient pas a. Ainsi (2) sera encore une solution de (i), si «, au lieu d'être constante, est fonction de x et y tirés de (4). Cela revient à dire que la

résultante des équations F = o, — = 0 est une solution singulière de (i). Cette solution singulière représente l'enveloppe des courbes (2). Ainsi :

La solution singulière de première espèce d' une écjua-

20 CIlAPITilE I.

tion (li(Jérenlielle unique du premier ordre représente L'enveloppe des courbes représentées par V intégrale générale.

Cette conclusion est soumise à des restrictions : i" si les équations (2) et (4) sont incompatibles, il n'y a ni enveloppe, ni solution singulière.

2° Si Téquation (3) et l'équation (5) sont illusoires, elles ne fournissent pas, pour la valeur de «tirée de (4), de valeur

pour -^> parce que 1 on a

il n'y a pas de raison alors pour que la résultante de (2) et (4) fournisse une solution de (i) [il pourra se faire dans quelques cas que cette résultante soit encore une solution, et il faudra dans chaque cas particulier examiner directement ce qui a lieu]; la résultante de (2) et de (4) représente encore un lieu d'' intersections successives des courbes (2), mais non plus une enveloppe proprement dite, en ce sens que cette courbe ne touche plus nécessairement les courbes intégrales. Les équations (6) ayant lieu, le point [x, y) sera sur la courbe qui représente l'intégrale générale un point singulier, en sorte

qu'en éliminant a entre F = o et -— = o, on obticndx'a le lieu

des points singuliers de la famille de courbes représentées par l'intégrale générale F = o; mais il semble que ce soit là une circonstance exceptionnelle et que la résultante de

F = o et — = o donne généralement une solution singulière Oa ° °

représentant l'enveloppe des courbes F =^ o.

D'un autre côté, on pourra trouver la solution singulière

si elle existe, en éliminant y' entre l'équation (i) et sa

dérivée -— = o, qui exprime que l'équation y= o fournit

deux valeurs égales de y'.

Mais, pour que la solution singulière existe, il faudra que

la valeur de y tirée de la résultante de /"= o et de -p> = o

satisfasse à l'équation (i) et qu'alors on ait identiquement, c'est-à-dire, quel que soit x, quand j/ sera déduit de la résul-

tante de /=o, ^ = o.

Or de l'équation

on va ûver y' :— z>(x,y) et la résultante de celte équation et

dey= o sera

Tirons-en y' ; à cet effet, différenlions-la, nous aurons

df df , dfVdo do -|

dx r)y^ do \^0x tj/ J

Mais -r^ est nul, car il est égal èi -r—, y' désignant précisément

ici la fonction o; on doit donc avoir pour Vy' de la solution

singulière

àf df ,

ôx Oy-^

ainsi l'jKctl'y'de la solution singulière devront satisfaire aux trois équations

/ X r df df ,df

(7) / = O, -^=0, -îi- -H y -f- = O.

^^ ' -' ' ôy' ' Ox -^ ôy

L'une de ces équations devra donc rentrer dans les deux autres : tout porte à croire que cela n'aura pas généralement lieu. Ainsi, d'après cette petite discussion, il semble qu'en

écrivant-—; = o on exprime que la courbe intégrale a deux

tangentes confondues, c'est-à-dire un rebroussement, et qu'en éliminant j^' on trouve le lieu de ce rebroussement et non pas une solution singulière.

Ce résultat paraît en contradiction avec celui que nous

avons trouvé tout à l'heure, qui nous porte à croire que la solution singulièi-e existe presque toujours, et, d'ailleurs, il semble étonnant que les courbes intégrales présentent ordinairement toutes des rebroussements, et l'on serait presque tenté de croire qu'effectivement les équations (^) se réduisent à deux distinctes.

C'est Clebsch qui a expliqué ce paradoxe, en faisant observer que, étant donnée l'équation intégrale F(a', y, a) — - o, l'équation diflérentielle obtenue en éliminant a entre F = o

et -1- = o n'avait pas toute sa généralité quand F(^,jk, a)

était quelconque; et qu'en donnant au contraire ■Af(^x,y^y'') toute sa généralité, a n'entrait pas d'une façon arbitraire dans F. Il y a là un piiénomène analogue à celui qui se présente dans la théorie des ligures corrélatives. La figure corrélative de la figure la plus générale de son ordre n'est pas la plus générale de sa classe, et vice versa.

Ainsi notre paradoxe s'expliquera, en admettant que les formes les plus générales de F et /ne se correspondent pas.

M. Darboux avait essayé d'expliquer ce paradoxe en admettant que toutes les équations difTérentielles n'avaient pas nécessairement une intégrale de la forme ¥{x, y, a) = o, F désignant une fonction bien déterminée, et que celles qui n'admettaient pas de solution singulière n'avaient pas la forme en question : l'explication de M. Clebsch nous paraît être la vraie.

Cherchons le lieu des points d'inflexion des courbes intégrales, c'est-à-dire le lieu des points où -j^ = -t— := o. A cet effet, différentions (i) et posons -j— = o, nous aurons

On voit donc que, si ce lieu coïncide avec le lieu des points pour lesquels -•- =: o, les écjualions (5) auront lieu en même

temps, cl la solution singulière existera. On conçoit, en efTet, que, quand sur une courbe variable de forme un point d'intlexion vient se confondre avec un rebroussement, inflexion et rebroussements disparaissent pour faire place à un point ordinaire.

P».EMAnQLiK. — Nous avons fait observer (p. a4) que la inétliode donnée pour la recbercbe directe des intégrales singulières conduisait souvent à des solutions étrangères : les considérations géométriques rendent compte de ce fait; en elTet, la résultante des équations

ôf

./(■r,y,.y) = o et ;}7=o

fera connaître, outre lenveloijpe des courbes intégrales de /"= o si elle existe, le lieu des points où deux courbes intégrales se touchent (voir Y Exercice 9, à la fin du Chapitre).

IX. — Reconnaître si une solution est particulière ou singulière.

Etant donnée une solution d'une ou plusieurs équations dillérentielles, ne renfermant pas autant de constantes qu'il doit en entrer dans la solution générale, il y a lieu de se demander si cette intégrale est singulière ou particulière.

Lorsque l'on connaît l'intégrale générale, la solution de cette question est facile : considérons, en effet, les v équations difTérenlielles

tl.r dv

(Il ' ■ (// '■

et soient, r/,, c/o, ... désii;nant les constantes d'intégration, {■}.) '!'(./■. j', ...,/; r^i. r^2- •••) = '>• \ — o, ...

les équations rpii forment l'intégrale i;énéi'alc. Si une équa- Ikiii

t.. - Traite d 'AïKih se. \ .

3o ciiAPiriiF. I.

entre .r, i', r /, est susccjilible de faire partie d'une

solution parliculièn-, il faudra (|ue les valtHirs de x^ y, ... tirées de (2) et portées dans (3) rendent celle-ci identique pour certaines valeurs de r/,, 0-2, •••. c'est-à-dire y satisfassent quel que soit t. Donc, si l'on élimine .2", j', :;,... entre (2) et (3), t devra disparaître de la résultante, pour certaines valeurs de <7, , r/o, .... Telle est la condition pour que E = o lasse pnrlie d'un grotqie d'écpiations coiistiluaiil uncsolulion ])articu!ière et non singulière.

La (pieslion est heaucouj) plus diflicih; à trancher quand on ne connaît pas l'intégrale générale du système (1). N'oici (pielques généralités à cet égard.

D'abord, si une équation donnée E = o renlermc une constante arbitraire a, on la résoudra par rapport à cette constante a et on la mettra sous la forme

si alors n = y. est suscpjtliblc de faire partie de lintt'grale générale, nous avons \u que l'on devait avoir ideiitiqiicmciil

<)u àii ()ii

et coiiiiiK" (I ai Ile lus

au

Ou

,ïK ,)\^

— - ^rz ~

ôt

ÙT.

ùr à'Ji

on pourra r(Mii|)la('ei' celte identité par récpiation

qui (l('\ra (leveiiii ideiilnpic |)ar rélimiiiation de a au mo\eu de E = o, si E =1^ o peut concourir à former l'intégrale générale. Si cela n'a pas lieu, E = o fait partie d'une solution particulière ou d'une solution singulière.

Considérons maiulenant une intégrale avec ou sans constante arbitraire, et supposons (pn* l'on en ail tiré les valeurs de x,y^ z sous la forme

:r, y, ... donnent

(5) x = \{ai,ao, ..

Posons

dt~ ^'' Tt

GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3l

supposons que les équations (2) résolues par rapport à

jK = M(ai, ..., O,

dt '

nous tirerons de(4)et(5) les valeurs de -r^ ? -~-> • • • 5 et nous

les porterons dans (i). Ces équations devant être satisfaites, on aura

X' = o(>v, a, . . ., f), [Ji'= /(X, [X, . .., 0, •••,

et par suite, par soustraction,

A'À'=o(A,M, ...,t)-'^a,xs., ...,t), ou

A'—).' o(\, Al, ..., n — ocx, ijL 0

et, en intégrant de ^0 à t,

Maintenant on peut disposer des constantes a,, <7o, ... de telle sorte que A(^o) = ^-(^0); si la dérivée de c3()>, . . ., t) relative à X pour t^= to n'est pas infinie, le second membre de la formule précédente sera fini. Il en sera de même du premier, ce qui exige que, d'après la manière dont ont été choisies les constantes, on ait

doncj si les dérivées partielles -t^> y^> ••• ne sont pas infinies, pour les valeurs de x^ y^ ... tirées de la solution donnée, cette solution ne sera pas singulière.

32 CIIAPITUE I.

Supposons maintenant la quantité placée sous le signe /

flans la formule (6) infinie pour t = to '. on pourra supposer t très voisin de ^o 5 il est clair alors que, si les intégrales définies singulières

''ç>(A. :\i n — cp(À, [j. o

A — X sont nulles, les intégrales

•'o(A, ...)-cp(X, ...)

dt,

dt.

seront finies et l'on aura A( t)^=X(t) pour les valeurs des constantes, telles que A(;o'^ = ^'(^o)- Ainsi :

Pour reconnatlre si une intégrale est particulière ou singulière, il suffira de discuter les intégrales définies singulières, telles que ('-).

Cette méthode a été indiquée par Cauchy (Moigko, Calcul différentiel et intégral); elle ne lève pas, comme l'on voit, toutes les difficultés; d'ailleurs cp, y, ... ont été supposés bien déterminés.

Les recherches exposées dans ce paragraphe ne sont pas inutiles, car il arrive souvent qu'une solution trouvée par les procédés applicables à la recherche des solutions singulières est une intégrale particulière : cela arrive quand, dans une équation du premier ordre par exemple, les courbes intégrales ont Tune d'elles pour enveloppe.