X. — Cas où la variable est imaginaire

Pour démontrer l'existence des solutions du système . d.v dy

nous avons supposé x^y, . . ., t, o, y, ... réels. Supposons mainlcnanl que ces quantités soient imaginaires, et faisons

varier t le long d'un chemin ^(,T bien déterminé. Pour cela, on fera

7 et T désignant des fonctions canvenablement choisies d'un paramètre 9, par exemple ; x,j)-, . . deviendront des fonctions

X[-rOC2\ — i0^i~~J^2V — '' • • ^^ r» '/,' ••• des expressions de la forme cp, — cp^ V — ' ' '/j ~^ '/^ V^"" ' ? . . . , et les équations (i) seront remplacées par

dx\ -;- dxo s/ — 1 - , , / \/ / \

(^' + -^'v/^')(zt-7.2/-i),

Ces V équations se décomposeront en 2v équations différentielles par rapport aux 2v fonctions ^,, Xo, j,, j .,, ... de Q admettant une solution se réduisant à a;", :r!I, j", . . . pour 0 := ()", ce qui revient à dire que les équations (i) ont une solution se réduisant à ^o? ya-i • • • pour t = to quand on fait suivre à la variable t un chemin bien déterminé.

Lorsque la variable t se rend de ^o à T par un chemin indéterminé, les valeurs de J:", J', ^, ... peuvent être ellesmêmes indéterminées, comme nous l'avons déjà observé sur l'équation

qui donne pour j: 1 intégrale / y i^/k/^, dont la valeur dépend

du contour d'intégration suivi pour aller de ^o en t; mais, pour un chemin donné, les équations (i) admettront en général des solutions bien déterminées.

L'élude du cas où la variable passe par des valeurs imaginaires présente des difficultés particulières; toutefois la synecticité des fonctions intégrales peut être établie pour certaines limites, à l'aide du procédé imaginé par Cauchy et L. — Traité d'Analyse, W 3

34 CIlAlMTIli: 1.

nerfeclionné par INI M. liriol el Bouquet, que nous avons exposé à la page 12- du lonic I\ .