an^/j rf^" z — x

dz.

OU enfin

J , ^ — • Nous poserons

en sorte que la solution la plus générale de (i) pourra se mettre sous la forme

ax„--bh:„,

A et B désignant des constantes arbitraires. Reprenons la formule (p. 191 )

M) {in-^\)x\n—{n -f-i;X„+i — /iX„i = o;

divisons par 2(c — x), après y avoir changé a: en ^ et intégrons de — I à H- I : nous aurons

I , r^' zZndz . , ,

en remplaçant z par z — :r + x et en observant que

I Z„dz = 0, «-'-1 on aura

(■ifi-r- i):£„x — {n -I- i)Z„^i— nZ„-i = 0.

et Z,^ satisfait à la même équation ( \) que \„.

202 nr A PITRE IV,

Or il est facile de voir que Tinlégrale

do

satisfait, comme

à l'équation (4); en effet, ou a ricJentilé

\/x' — I sinho

^Z-^^ — icosho)"^' coshcp \/x'' — r

{x -r- \/x'- — I cosho/'^ \x -^ \/x'^ — I coshcp)' "^"

ou

d yx- — 1 sin h'^ x

"? {^x-^^x- — I coshcp j""^' (.r-i-y/u--^ — icoslio)""^

{x -\- \/x- — I coshcp)""^' n

{x -r- ^X- — I COS h Cp /'

et, si l'on intègre de o à oî, on a

o = (2n-M)X;,j; — (/n-i)X'„+, — rtX'„,.

La fonction X^^ satisfait donc bien à la même équation (4) que 3/, et si l'on constate que X„ = S,,, X, = H,, on aura

X',, = 3„ ; or

^o=- = l0gl/ ,

I r zdz , . / 1 — -^

■ij z~x *'V iH-.r

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIKES. 2o3

On a ensuile

.,0 V^-Hya;- — icoshoj V '

donc enfin X',^= H/,. On prouve de même que

^ \x — \J X- — 1 cos h o )" <r/cp .