VII. — Développement suivant les X„ et les —n

Les fonctions X,; de Legendre et les fondions conjuguées H,2 ont été appelées fonctions spliériques [Kagelfanctionen) par les géomètres allemands, pour une raison que l'on fera connaître plus loin; les X« sont alors les fonctions spliériques de première espèce, les S„ sont les fonctions spliériques de seconde espèce.

Les fonctions s)ne(;tiques sont développables, comme nous allons voir, suivant des termes multiples des fonctions spliériques; nous allons d'abord nous occuper du développement

de » dont nous déduirons tous les autres.

Nous partirons de la formule établie (p. i(ji)

(1) --— ;(X„+,Z„— Z„+,X„) = XuZ„-h3X,Zi -^. . .-i-(9,/i— i)X„Z„,

et où Vjit désigne, pour abréger, X„(;). Multiplions les deux

membres par — dz et intégrons de — i à -h 1 . Si nous

posons 0,/ = H,„(^), nous aurons

= 0oXo + 301 X, + ... + ( 2/1 -4- i)e„X„;

2o4 CIIAIMTUK IV,

or

-'rt-^i dz «-'—1

(-^/i ^,i-f-i — L,ii ^n-^\) 'i

la première intégrale qui figure dans le second membre de celle formule se réduit à

- -7— — Xo / Zof/i: --. . .-i-(2/i — i)X„ ^ Z,k/- ,

c'est-à-dire à ; la formule (2) devient alors