X varie sur une ellipse d axes a H et u. ou a

ayant pour foyers les points — i et -h i ; rpiand on se donne v, t varie le long d'une ellipse d'axes v + - et v — ou v;

si donc on se donne v>>K, le point t restera à Textérieur d'une ellipse d'axes R -r- -.t etR — ^y» siR>- 1, et à l'intérieur

d'une ellipse d'axes 1^ + ]7 et rr — R, si R << i . Supposons maintenant que l'on ait j)Osé

et que l'on ait

mod V > inod u ou v

on aura

inulliplions par/(x)'^/x et intégrons le long de l'ellipse avant

l . I I Cl • < ■>■ ,

pour axes u H et u. ou - — 'jl. oi le point / est a 1 inle-

rieur de celte ellipse et si. à Tintérieur de celle ellipse y(^) reste fini, monodrome et monogène, on aura

■^ - v/— '/( t)=eo l Xo/ix)dx — . . .-^ ( 2 « -i- I )e„ f\nf{Jr)dx — . . .,

et f[t) sera développable en une série de Ibnclions 6; au contraire, multiplions par /[t)dl, en laissant v constant, ce qui revient à faire varier le point t sur une certaine ellipse. Si le pointer reste intérieur à cette ellipse et siy(a:) reste finie, monodrome et monogène dans cette ellipse, on aura

2- /^/(a7 ) = Xo |eo/( t)dl- .. .-r-{-2n -h 1 1\„ j^uf{t)dt-^.. . ,

et la fonction /sera développable en une série de fonctionsX,,. ( Pour plus de détails voir IIkim;, Handhiich cler Kugelfunctionen.)