VIII. — Formule de quadrature de Gauss

Supposons que l'on veuille évaluer une intégrale qui ail pour limites — i et -|- i. Cette reslriction n'est pas nécessaire

ÉTLDE DE QLELQLES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2O7

en théorie, mais elle l'est en pratique, comme on le verra tout à riieure. D'ailleurs il est toujours facile, au uioven d'un changement de variable, de remplacer une intégrale qui a pour limites a et h par une autre qui ail j)0ur limites — i et -h I ; il suffit, si la variable est a*, de poser

a ^- h a — Il x= / ,

t désignant la nouvelle variable.

Considérons donc l'intégrale

oient «0, «I, ' •' <^«-t? t^ valeurs de x comprises entre — 1 et -T- I : nous pouvons supposer que ces ii valeurs soient précisément les racines de l'équation Xrt = o, X« désignant le polynôme de Legendre dont il a été question tout à l'heure. Soit maintenant y(j:) un polvnôme de degré in — i égal à 'f (j?) pour ^ = «0, X =^ a^, . . . ^ x = a,i i et pour n autres valeurs de x (\ue nous laissons indétei'minées. Substituons au calcul de l'intégrale proposée celui de l'intégrale

à cet effet, divisons /(.r) parX„, soient Q le quotient de degré Il — I cl 11 le reste aussi de desrré n — i : comme

on aura

J\xydx = / q\„dx— R dx,

et, comme / Q^/,dx est nul (p. i8(j\ on aura ^ —1

f f(x)dx ^ f Rdx.

■2o8 CIIAIMTIIK IV.

Or U est clctcrniiné par n valeurs «o, «i, • • , ««; de x et par les valeurs correspoodantes

lU«o )=/(«.)), ..., R(a,-,) = /(a„-i), et l'on a

■' ' \,i{ai){x — cii) et, par suite,

r'nx)dx= C'y J\^n v> ^"/"^^ ; ^^-^

ou même

Telle est la valeur exacte de j f{x)dx, qui est la valeur approchée de I '^{x)dx.

On voit que cette valeur est de la forme

Ao'f(ao)-H Aio(rti)-i-. . .-;- A„,o(«„,),

Ao, A,, ..., A„, désignant des quantités que Ion peut calculer une fois pour toutes. On comprend maintenant pourquoi on a choisi les limites -h i et — i de 1 inlégrale que l'on avait à évaluer.

L'avantaere de la méthode de Gauss est de fournir la même approximation que la méthode de Cotes, en calculant seulement n valeurs de '-p(x), tandis que la méthode de Cotes exigerait que l'on en calculât 2n — i .