IX. — Nouvelle manière d'exposer la méthode de Gauss

Considérons la fonction vr- — et tlécomposons-la en

éléments simples, X/, désignant toujours le polvnôme de Legendre; appelons c:„, r/,. . . ., a„i les racines de X,^ = o ;

nous aurons (p. 8, t. III) I I I I r

h( w) représentant '-^ — -> par suite f)((^/ ) = X'-(a). Ouand

on effectue les calculs, les termes en

.^mà (lai L 0 ( a, )( a/ — 1 i x — a J

X — ao X — ai

paraissent en vertu de l'équation (i) (p. 199)3 laquelle satislait Xrt, et l'on a

( X- — i)X;-, .i.\x — i x^\j ' ^(i{ai){af — i)(:r— m,)^' formule que Ton peut écrire

1 = -(— L Uy, [

\n{\ — X-) 2\X — l X — \] .^d\n-{ai)(l — af ){X — Oi)-

Intégrons les deux membres par rapport à x, en observant que

I \X-i-l ./• 1/ X — 1 .' . JC 3

et nous aurons

r^ cLc I r^' dz y 1

multiplions par '^{x) et prenons les résidus intégraux des deux membres, c'est-à-dire relativement à un cercle de ra^on plus grand que un décrit de l'origine comme centre. En supposant '^{x) fini dans ce cercle, nous aurons

on a donc approximativement

et l'erreur est le résidu

310 CHAPITItE IV.

[ To/'/Hermite, Cours cV Analyse de V Ecole Polytechnique, |>. 41>^ et suivantes. — Chiustoffel, Ueber die Gaussche Q uad ra t ur (Ckelle, t. 55). — Mehlkk, Bemerkungen zur Théorie der mecanischen Quadraluren (Ckei.i.e, t. 63). — Gauss a fait connaître sa métliode en i8i5 dans les Commentaires de la Société Royale de (jùttingue.]