X. — Généralisation des polynômes X

Posons

0(5) = (^-a)^(--^)?...(^-/)VG-r)",

a, jj A désignant des constantes supérieures à — i et

rt, ^, . . ., l des constantes quelconques, /i un exposant réel; posons, en outre,

0(^) = (^ — af-^^Hz — i^)3+i...(5 — a-)«^-':

on pourra écrire

iJ)'(z)=ii(z)[{cc — i)(z — b)...(z — T)-h...-\-{n-i-i)(z — a)...];

a quantité entre crochets peut se mettre sous la forme

F, F,, . . . désignant des polynômes entiers et [jl désignant le nombre des constantes a, h, . . . , /; et l'on aura

Posons encore

(z-ay^...{z-l)>-=/(z), et nous aurons

fc>'( ^ )= F(.r)fi^z K :; — ./• i" -f- F^(x}fiz)^ z — a^)"-»-' -4-. . . ;

intégrons les deux uicinhrcs entre deu\ limites qiu soient deux des quantités a, A, . . . , /; nous aiiions

U) o = F(x)J/{z)iz-x}»dz -r- Vax)p\z){z-x)"-^

^dz

ÉTIDE DE QIELQLES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 211

Or, si Ton fait

y =z j J\z)(z — xy^Vdz,

n — [i. ) ifi z){z — x )''+!A-i dz ( — I ),

dV-y dx\>-

et, par suite, ( i) devient

, ^ =(n-^a)(n-^ 'j. — !)...(•« -4-1) ff{z){z — xYdz{—\)\>, dx\>- ' J

! Fix)p^

Cette équation difTérentielle a alors pour intégrales les quan-

tité

p\z)iz-x)"^\'-dz

dans lesquelles les limites sont deux des quantités a^ b, . . . , l; si n est entier, on aura encore une intégrale en prenant l'une des expressions (-2), mais en intégrant le long d'un contour fermé contenant le point x; cette intégrale ne sera, bien entendu, intéressante, que si n est négatif: elle se réduira alors à une dérivée de la fonction f{z).