XI. — Remarques sur les fonctions trigonométriques

Si l'on se propose de trouver un polynôme çp« (x) de degré n, tel que l'on ait

dx

/ ^){x)o,ii,x) ,—— ~ o,

poiii' tout [joiynùme f) (.r) de degré/? — i,on trouve (p. i8(j) que '^//{jc) est de la forme

CIIAPITKK IV,

»î/(jr) désignant une certaine fonction de x, cl, pour que 's„ soit un polynôme, il faut qu'à un facteur constant près on ail

'■:,„ est, à un facteur constant près, le polvnonic cos/^ arc cos^" et il satisfait à l'équation dilTérentielle

d- y cl y ^

qui a pour intégrale générale

A cos/i arccosa^ -i- B «in n arcsina-,

A et B désignant deux constantes. On constate que l'expression

ctx"

satisfait aussi à léquation ( i ) cl 1 on en conclul celte fornuilc de Jacobi

(I — .r- ) ' = sin « arccos.r.

?sous laissons au lecteur le soin de vt'nlicr ces assertions.