XII. — Polynômes de M. Hermite

Proposons-nous maintenant de trouver une fonction •::.(. r) donnant lieu aux égalités

1 '^{x )x dx = o,

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3l3

En se laissant guider par le fil des analogies, on prendra

dr"

la fonction e'^' s'annulant pour j; = ±; do un nombre de fois infini. La fonction 'o{jc) ainsi définie est le produit de (?"•*' par un polynôme entier de degré n dont les propriétés ont été étudiées par M. Hermile; on a, en efi'et,

de-''-

= — ixe

de d- e--

dx^ ~dx^

= \x-e-''' — te-"" = ( 4 -y- — 7.)e-^'', r= I — 8^'* H- I ■ix)e~-^'',

et il est évident qu'en général on pourra poser j' = e '" et

P„ désignant un polynôme entier en a: du degré //. Or on a

loçrr = — X-, f- = — ix

y dx

et, par suite,

dy

dx -^

el, en différentiant // -i- i fois,

, , rf'' + 2 jr r/' + l V ^ d"Y

^ ' dx'<^^-^ dx"+i ^ ' dx"

ou, divisant par C'',

équation qui servira à former les polynômes V de proche en proche. Le théorème de Slurm est immédiatement applicable et montre que V„=zu a toutes ses racines réelles; la for-

mule (i) peut encore s'écrire (i-y (ly

y désignant — -j—;^ ^^ * "^' ^^> P^r suite, on a

+ 'i.xe-^' ( --7-" — ixVjA -i- ^(/i -i- i)^-^'P,j = o

ou bien

Les équations (2) et

pourront donc être intégrées complètement quand n sera un nombre entier.

L'équation (3) peut s'écrire

elle est ainsi mise sous la forme canonique et l'on en conclut (p. 173) celte proj)riété des fonctions P„

/ P„,P„e-^=rfj7 = o,

pour les valeurs de m différentes de n^ ou

D'ailleurs on a aussi, en intégrant par parties, J P„, P„ e-- dx = j P„, -j^ dx

= / — -, ; dv\

I dx"> dx"-'"

, d'" e-^'- d" e-» ' dx'" dx"

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2l5

si m -< /?, ce résultat est nul ; mais, si ni = n, il est égal à

r'*'" fini p . fini p .„

/ ±-LlIi e-^- dx ; or V^ = = i . >. . 3 . . . m . 2"S donc

1 P;„e--r-f/a; = = i.9..3...m.2"'v/ï (p. i36, t. IH).

Nous ferons remarquer, en terminant cet aperçu, que l'intégrale

O^n-lnJ p.

est une autre solution de l'équation (3), en sorte que AP„^BQ„ = o

est l'intégrale générale de cette équation.

Si l'on pose

on aura

e--^'ï\,i(i{x)dx = o;

pour toutes les valeurs du pohnonie ^(.x) de degré inférieur à /?, on aura d'ailleurs

H„ =zx" x'i-^- : '- x't-^- — . ..,

1 l .JL