XI. — Équations d'ordre supérieur au premier
LU système adéquations différentielles dont une partie ou la totalité est d'ordre supérieur au premier peut être ramené à un système d'équations du premier ordre.
En effet, considérons le système
(1) Fi = 0, r.2 =^0, — • Fv = 0
et supposons qu'il contienne des dérivées au plus d'ordre m jiar rapport à x, d'ordre n par rapport à j^, etc. Posons, en appelant / la variable indépendante,
clx „ dx , , rfa7''"-"
' ■'•' - -fiJ' ^' - ~cl7' ■ ' " '^ " " ' dt
les équations (i), (2) formeront un système d'équations du premier ordre par rapport à x, jr', .... .r""~'\ j', j', . . ., j^f"~'J, . . . .L'intégrale générale d'un pareil systèmerenfermera
constantes arbitraires.
En particulier, si l'on considère une équation unique d'ordre/», son intégrale renfermera m constantes arbitraires.
11 résulte do là que :
Si, entre les équations qui constituent l' intégrale générale d'un système d'équations différentielles et leurs dérivées d'un ordre suffisamment élevé, on élimine les constantes, on doit retomber sur les équations différentielles proposées.
Des rquatio/is di [/'ércntieltcs n'ont tjuune seule inté-
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS D I FF É R E N T lELLK S. 35
grale générale ; elles peuvent avoir en outre des solutions singulières renfermant moins de constantes arbitraires que l'intégrale générale.
Lorsque v équations entre les y fonctions x, y, :;,... et la variable t renferment m -}- /? -f- ... constantes arbitraires et que les valeurs de x^ y, z, . . . tirées de ces équations satisfont identiquement aux équations (i), ces équations constituent l'intégrale générale du système (i).
On appelle intégrale du système (i) toute intégrale du système (i), (2). Ainsi, si l'on suppose le système (i), (2) intégré complètement et résolu par rapport aux constantes d'intégration, une des équations
ainsi obtenues est une intégrale de système (i). Et en effet, la connaissance de toutes ces intégrales élémentaires équivaut évidemment à la connaissance de l'intégrale générale des équations (i).
Ce que nous venons de dire s'ap|)liquerait au cas où parmi les équations (1) il v aurait des équations d'ordre zéro, c'està-dire ne contenant pas de dérivées.
Les équations d'ordre supérieur peuvent évidemment avoir des solutions singulières que l'on trouvera aisément en convertissant ces équations en équations du premier ordre par l'introduction des nouvelles fonctions x', x", . . . , r', y", . . . comme nous venons de l'indiquer.
Supposons, par exemple, que l'on se donne l'équation unique
^r'-^' dx' dx^
et que, l'ayant remplacée par
/ , dY'\ , dy
on ait trouvé les intégrales
fii^y y^y\ a, b) = o, fi
a ci b désignant des constantes arbitraires; les équations
difuf,)
<ij\ f^n ^ rifi^ db 'oïl ^1 ~ 'ôU ^ ~
pourront fournir une solution singidièrc, et il en sera de même des équations
-^— = o, -V = o. Oa Ob
Enfin l'équation proposée pourra, indépendamment de ces solutions de première espèce, en avoir de seconde espèce.
Nous terminerons ces considérations en faisant connaître une formule générale pour le cliangement de variables; souvent, en effet, on parvient à intégrer les équations difl'érentielles en leur faisant subir un changement de variable pouvant anicner des simplifications dans leur forme.
XII. — Changement de variable dans les équations différentielles.
lly a souvent avantage, quand on ^eutintégrerdes équations différentielles, à les simplifier au moyen d'un changement de variable : ce cliangement pourra se faire à l'aide des méthodes exposées dans le Calcul différentiel^ mais nous crovons devoir faire connaître une formule générale remplissant ce but et due à Wronski.
Considérons la fonction r=J\.v) et proposons-nous de
calculery"(.r) ou y-^,- j en prenant une nouvelle \ariable quelconque /; à cet effet, observons (pie
K désignant une quantité lime [jour 3 ^^ .v, et par suite
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQIATIOXS D I FF É R E N T I EL L HS. oy
■étant égal à (x — s)'*"^' R, s'annulera pour x = z-, ainsi que ses n premières dérivées prises non seulement par rapport à X, mais aussi par rapport à f , ainsi que le prouve ra[)plicalion de la formule de Leibnitz à la différentiation du produit
on aura donc, en différentiant par rapport à / et en remplaçant/(j;) par T,
d'\y d" dt"^ dt"
on tire de là
d" dt"
N et D dési£:nant les déterminants
dt"^^-^'^
d" ^ dt'^^'-
^ix-z) dt '
dt
dt
dy dt
d'^y df'
dt
d" dt"
Si dans le déterminant Non développe {x — z)-,( x — :;)^, . . ., en combinant les colonnes on aura, au signe près, en négligeant les facteurs dt,
dx o o ... dy
Si dans D on observe ([ue
= i\[cl{x — z)Y= il{dxy\ d'-^J(x— z)' = o,
lous les termes situf's au-dessus de la diagonale seront nuls, et l'on aura, au signe près,
D = I ! '. : . . . rt ! f/.r -^ ; la l'ormule (i) devient alors
dx
• dy
\ .iW. . . . n\ dx
Cette formule ayant lieu quel que soit ^, on peut, si l'on veut, y remplacer z par x et Ion a alors
di^y n\
dx"^ ~ I ! 2 ! ... n
dx
■■ dy \
rf" x^ .
dx
Telle est la formule que nous voulions établir : elle donne
pour 11 = 1
d-y dx d- y — dv d- x dx- ~ dx^
formule déjà établie dans le Calcul dillcrcnticl.
GÉNÉRALITÉS SLR LES ÉQUATIONS DI FF É H EN T I E LL E S. Sq
EXERCICES ET NOTES
