XIII. — Fonctions de Bessel et de Fourier. Posons

, I i .( n-^- \) i .■jL.{n-~i)(n -h ■!)

' I ^ xP

\ i .i.'S. . .p{n -hi){n ^ i) . . .{n-i- p)

2l6 CIIAPITRK I\.

nous aurons

dx I I . '2 ( /i — I )

cl, par suilc,

(IX X"-^ dx \.(ll~-l) I .^(^ -t- I)(« -H -2

Il en résnlle

jjii \ ;— \

dx 37"-' dx équation qui peut s ccriie

dx- dx

Si Ton change x ew — ^ on voit que, en posant

on a

d^Ha 9.7l-h\ r/lî„

(4) -d^-^-^lû-^'" = ''-

La fonction Bn est ce que l'on appelle là fonction de Foiirier ou de Bessel. Elle a été considérée, pour la première fois, par Fourier [Tliéorie de la Chaleur, Cliap. VI); on la rencontre dans diverses questions d'Astronomie et de Physique. Si l'on fait o,n -\-i^= ni et si Ton pose

d^C, m dC„, -

dx- X dx

ÉTUDE DK QIELQLES ÉQIATIOXS LINÉAIUKS. ^IJ

le changement de x en .r \J — i montre que la valeur de la

salisfait à

J-D,„ m dH,

dx'^ X dx

llevenons à la fonction A/, : on a

vz x^ z-

\ .1.'\. . . Il

iVlulliplions ces deux équations membre à membre, divisons par c et prenons les résidus relatifs au point o : nous aurons

-«-le V W x"' I I . "2 . 3 . . . rt — f H

donc ^ — ^f^ — ^ est le coefficient de c" dans le dévcloppemcnl

de <? ^ ^ suivant les puissances entières de c ou, ce (jui

x'^ B revient au même, — " — est le coefficient de z" dans le