i . . . 2 rt

développement de e"- '"K En résumé, les fonctions A, B,

(^^, D sont liées entre elles par les relations

C^,n{x)= G2„ + i(.r)= I5„(.rj= lîm-jfa"), D,„(^;= C,„(tv/^)= B,„-,(.rv/— i),

CHAriTRK IV

etl

l'on a

X ^'^^" dx^

d^B„ ^ dx^

aj7

d'Cn ^ dx^

d^D,„ ^ dx^

dD,„ -H m —J— dx

— X^in = O, -\- xY),„ =o.

Ces équations pouvant se transformer facilement les unes dans les autres, nous nous bornerons à étudier la dernière à laquelle satisfait la fonction D,„. Ecrivons-la ainsi :

d'^y m dy

^ ' dx'^ X dx '^•^ ~

En vertu des théories de M. Fuchs, le seul point critique à distance finie est le point o : l'équation fondamentale déterminante est

ou

■x^ -\-{in — I ) a =: o ;

ses racines sont a = o, a = — (/« — i) ; il y a donc une intégrale monodrome et une seconde intégrale monodrome si tu est entier. La première intégrale est la fonction D„, : pour calculer l'autre, nous poserons

y = ar-''"-i'(i -+■ a^x ~r- a-ix- -f-. . .), -^ = — x-"'\{?n — \) -\- Uii m — •x)x -\- ai{m — 3)^7--+-. . .],

-~L = a7-'"'+"[(«? — i)m -H rt,(/?i — 2)(m — i).r -f-. . .],

et, portant ces valeurs dans (i), nous égalerons à zéro les <Jiverses puissances de x\ nous aurons ainsi les a et par suite

L 2. (m — 3) -L'i-ini — 'i)(ni — b) ' J'

les deux intégrales distinctes de (i) ont donc le point à rinlini pour point singulier essentiel; elles ne sauraient donc èlre racines d'équations algébriques. La fonction D,„ peut s'exprimer au moyen d'intégrales définies. En effet, on a

/ cos^' z sin'" z dz ■ 0

(m -+- ■j.){rn -h ^) . . .{m ■

— r- / sin"'^(/:;,

ainsi qu'on le vérifie bien facilement par l'intégration par parties; on en conclut, en changeant /n en m — i ,

/ C09,^' z sin'"-^ z f/z '- 0

et, par suite.

I sin

'"-^zch

Jf cos-'z sin'"-i - (fz 0

( rn-i-i ){/n'+-'i ) . . . i /n-\-u.i — 1 j r''^