t—i) / sin"'-izdz

Si l'on porte cette valeur dans la formule

■j.im-^1) '2.4. (//i -H i)(/«-i- 3) on Irouve

^zdz

ou J)ien

/ sin' i/o

l),„ I s\n"'-^zdz — I c.os{a;cosz) sin"^- ^zdz;

■t.f.O CIlAt'ITHK IV.

donc

(•2) / cos{x cosz)sin"'-^ z(/z,

ne difTérant de D„, (jiie par le facteur conslaiil

/ sin"'-'cf/c.

est une intégrale de l'équation (i). Cette équation peut donc être intégrée au moyen d'intégrales définies. On peut poser

cos :; = H ; la lormule (•?.) devient alors, au signe près et au facteur 2 près,

/ cosH;r(i — a- ) - du, en sorte que, si l'on pose (3) ^p— / cosux{i ~ U')P-^du,

\ p sera une intégrale particulière de

, d'y t-p dy

dx- X dx

Les fonctions \ p sont cxpriniaMcs en termes (iuis (piand p ('Si entier. En effet, l'intégration par parties, a|)pliqucc à la foiniido (.'^), donne

r '&\nax , , „ ,

Vy,= / {\ — u-}P'-urxi> — x) (lu

Cl, en répétant celte opéralion,

\p=--J -——{x — u-'.)i>~3ir-{x[j->.){îp- \)du

;; (l -- U-)P--{ip — ■>)du,

ÉTLDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LlîiÉAinES. 2>l

ce que l'on peut écrire

ip — % (2/J— •2)(2/) — 4 )

(ip — 'l){'lp— \)

' l>uu

Les fonctions \ sont, comme l'on voit, des fonctions de Slurni; d'ailleurs on a

V, = / cosuTdu= ,

y.^ = I cos iix{i — II- ) du =

sin.r — %x COS.7-

ce qui permet de calcider \ p de proche en proclie, et Ton voit que l'équation (4), et par suite (i), ont |)our m pair une intégrale exprimable en ternies finis. L'autre le sera alors au nioven de quadratures. On peut donner une autre forme aii\ fonctions \ p] si en eflet, dans la formule (3), on fait ux = v. on a

et, en intégrant |)ar jiarties, / x-i'-K'^

l'osant U„=^ —^ 1 on a

L'y, = / sinr(/-- — t- )/' --u r<A' ; «- 0

faisant ensuite r- r— //, on a

(J,, = / ^'in^uiJL- — 11)1'- -du;

222 riIAPITIlF, IV.

on a donc (p. i38, t. 111)

—!^ =: / / . . . sin ^ x- dx- dx- . . . ,

le nombre des intégrations étant/» — i ; donc

U:j = 4 / -^ / xsinj-rf.r-,

.ri X I X sin.r (/.r',

d'ailleurs U) = sinx.

On a donc ainsi un nouveau moyen de calculer sous forme finie l'intégrale de l'équation (i). Ces remarques sont de M. Hermite. (Consulter les Ouvrages de M. ÏNeumann, i86-. Lomel, i868, Sur les fonctions de Bessel el de Fourier, un Mémoire de M. Heine, Journal de C relie, t. 60; la Thèse de M. Nicolas, 1882, insérée dans les Annales de l'Ecole Normale.)