XIV. — Équation de Riccati

On appelle ainsi l'équation (p. ().»)

dy -, , dy , , ,

(r) -~ — r- ay- = bx'" ou ^ ~r -^ " J = ^^^•^"'■

Elle s'intègre, comme nous allons voir, à l'aide des Iranscendanlcs de Bessel. Si, en efïet, on pose u = e'"->''-^ ou

I du

ay = r— > au = A,

•^ u dx

1)11 liou\c

telle est la transformée obtenue par Euler. Posons

xP = kt, nous aurons

P- » ^d-u pin — n ^ du ^2 dt^ k dt

posant alors m=^ip — •>,p = , on a, en divisant par :c'

p- d-u p(p — 1 ) du

k-i dt^ k dt

Observant que x p ^ -^ -, p ^ j il vient

T kt ' 1

d- u m I du X - A

dt- m -r- 1 t dt p

on lera alors — ~ = : r = zt i , et 1 on sera ramené a

p^ {m-^iy-

Tune des équations

d- u m I du

—TT ,- =: « = o,

dt- m -X- t I dt

qui définissent les fonctions de Bessel ou de Fourier. Donc,

toutes les fois que sera un nombre i)air, on pourra

Intégrer par les fonctions algébriques et trigononiétriques l'équation de Riccati. Si l'on pose

n\ = in aK,

on en lire

telle est la forme que doit alTeclcr m pour que l'on puisse

intégrer en termes finis.

•22 'l Cil A PI ru F. I\.

()iiaii(! on counaîlra //, on auraj)' jiar la formule

1 (hi I d ,

^ a u(tx (t dx °

formule qui ne renfornîc j)lus (ju'une seule conslante aibi- Irairc. D'ailleurs l'équalion de lllccali esL une de celles que l'on sait intégrer quand on en connaît une solution (p. 62).

On ramène à l'équation de Riccali et par suite on intègre au moyen des fonctions de Bessel :

1" L'équation

-; by-x> — ax^" = o ;

dx ^

en posant c = > elle devient alors

'Jl° m. Fourel a trouvé (|ue l'équation

( A ) \ \\ ^ \.){x dy ~ y dx ) ~ M dy -h N dx — o,

où 11 est homogène de degré y> — ■ 2 et L, M, N homogènes de degré /?, se ramène à ré(|uation de Uiccati en changeante:

t I , ros6 sinO en - et V en - , ou encore en changeant x en — et y en •

()uand H = o, l'équation (A) devient linéaire par une transformation de coordonnées reclilignes en coordonnées polaires.