XV. ~ Étude des fonctions de Gauss

L'intégration de l'équation très générale, où A, lî, ... sont des constantes,

(I) ^.v^2+1}j:- + C) V^! -f-(D.z •^-E) ^ -+-Fr =0,

dx- dx

se ramène à létudc d'une série remar(|uable dont les princi-

pales propriétés ont été signalées par Gauss; nous allons nous y arrêter quelques instants.

Au moyen d'une substitution linéaire x = az -{- b^ on transforme cette équation en

M', N', P' désignant de nouvelles constantes. Or, si Ton choisit a et b de telle sorte que

A6--I- Bi -i- G = o, ka"- — - iïkab -^ ah),

sans prendre « = o, et si l'on remet j: à la place de z, léquation proposée prendra la forme

M, N, P désignant encore des constantes d'ailleurs quelconques, comme A, B, G, D, E, F.

Getle équation a pour points singuliers possibles les points o, 1 et oc : l'équation fondamentale déterminante est, pour le

point o,

a. {t. — ij-i-Xa = o

et |)Our le point i ,

nous pourrons donc développer, suivant les puissances entières et positives de j::, une intégrale de l'équation (2); le rayon de convergence sera au moins égal à un. Pour qu'il y ait une autre intégrale monodrome autour de l'origine, il faut que M soit un nombre entier : celte intégrale sera aussi monodrome autour du point i , si M est entier.

Gherchons l'intégrale monodrome autour de l'origine; à L. — Traité d'Analyse, V. 1")

cet eflet, posons

y = ao-î- aiX -T- a-2-r--\- . . . -h a„ ar" -+-... ,

rlx

-rh: — i.2 0.7-f-2.3a3 3--r-...-)-«(n — i)a„a''»-2-i-. . .:

dx-

portons ensuile ces valeurs dans l'équation (2); nous devrons avoir l'idenlité

[l .^a»-^ 2.3«3ar-h 3.4«ia:"^

-r-. . .-4-(n — i)nanX"-- .. .]{x^ — x)

^-(ai-i- 2a2:r -+-, . .-(- /?a„a;"-i + . . . )(Ma;-)- N)

En égalant à o le coefficient de a:", on a rt,iP -T- «««M -T- ( /i -1- I )a„-i iIV -i- «(n — i)a„ — /?( n -f- i)rt„H.i = o

ou

P-hMrt-i-/i(«— 1) /i2-+-n(M — i)-hP

<^/o est d'ailleurs arbitraire. L'équation précédente peut s'écrire

(/H-a)(rt-i-^)

«n+l — Ufi ■ >

en posant

Si l'on fait alors a^ = o, on voit que la valeur de la série