ta,p,Y,a~)=H '-x-i 7^*^ x^-h

f..j i-ï i.2.Y(ïH-i)

1.2.3.. . «7(Y-r-i)...(Y-H« — 1) est une intégrale de l'équation

ÉTLDE DE QUELQLES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 227

La série (3) a reçu le nom de série h y per géométrique ; elle jouit de propriétés curieuses que nous allons étudier. Mais d'abord, pour en finir avec l'équation (4), nous ferons observer que, si F(a, ,3, v, x) est une solution,

a''-TF(i-4-a — Y) i "+" P — T' ^ — Y» ^)

est une autre solution, ainsi qu'on peut le vérifier en posant y^ x^z^ et en développant en série l'intégrale de l'équation en z. L'intégrale de (i) la plus générale est donc exprimable an moyen de deux séries.

La valeur de la série hjpergéométrique (3) peut être mise sous la forme d'une intégrale définie dans un grand nombre de cas, ce qui fournit une nouvelle forme de l'intégrale de l'équation (4).

Tous les calculs que nous allons faire supposent satisfaites certaines conditions de convergence et de continuité dont le lecteur s'apercevra sans peine, et sur lesquelles nous n'insisterons pas.

On a

^ af a— I I „ „ (i — ux)-'^ = H — ux~ u-x- -^. . .

Multiplions par uP*(i — u^'Ulu et intégrons de o à i ; nous aurons, en appelant B(y:», q) l'intégrale eulérienne de première espèce,

(i — ux)-^(] — u)^-UiP-^dii

= Bip, cj )^ -xB(p-T-i, q)-i-...

a(a-i-i)...(a-(-n — i) ,-, -^- iTOTTT;^ :v"Bip^n,g)^...;

or on a, en appelant r(^) l'intégrale eulérienne de deuxième

220 CHAl'ITRE IV.

espèce,.

^ '^ V{p-^ cj-~'i.) {p-i-q){p-=rq -^l) Vip-r-q)

La" formule précédente pourra alors se mettre sous la l'orme

rip)r(q)Jo ^ ^ >

ip-^q 1.2 {p-^q){p^q -^i)

a(aî-4- i). ..(a+/?— i) p(p -h i). . .( p -*- n — i)