UT

L'équalion (6) peut se mettre sous la forme canonique

éV^'-^^%Vv--

et l'on voit que, si f{x) est solution, y"(i — x) est solution aussi, en sorte que l'intégrale complète de (6) est, en désignant par A et B des constantes,

du

\/i<(l — «)(l — I — xu)

ou, en posant u ^= z-^

I XZ-)

Liouville, sous le pseudonyme de Besge, a fait connaître dans son Journal des équations remarquables qui se ramènent à la précédente. Si, en effet, dans

cm (e'-f-e-')2' on pose

Y l — x^ elle devient

laquelle se réduit à

quand on pose x = y/^ et que l'on change ensuite l en x. Si dans l'équation (a) on change t en at ou en at\J — i.

aSo CHAPITRE IV.

on volt que l'on peut intégrer les équations

dt^ ~

df^

co?,-at

et, par suite, aussi

dt- 4 sin^a^

XVI. — Intégration d'une équation remarquable par les fonctions

de Gauss.

Liouville a remarqué {Journal de L'Ecole Polytechnique, XXP Cahier, p. i85) que l'équation linéaire

d-y , ^ dy . .

^ dx^ ^ ^^ '^ "^ ^^ di -^(p^ ^^'^"^^^)y = °

pouvait se ramener à l'équation étudiée au paragraphe précédent en posant

y = ze-' • ,

z- désignant une nouvelle fonction inconnue et a, [i deux constantes. En eflectuant le changement de variable, on trouve

d*z r/ Q s T dz

sp -h rx -^ p \=o:

or on peut toujours disposer de a et [51 de manière à faire disparaître les termes en x- et en x dans le coefficient de z : l'équation se ramène alors à l'un des tvpes étudiés précédemment.

L'équation

rf* V dy

(mx^-+- nx-) -y^ -^(px^ ■+- a x) -f- — rv = o dx^ dx

se ramène au type étudié au paragraphe précédent en faisant x= -• (Liouville, loc. cit.).

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 23l