XVII. — Propriétés de la fonction F
Si dans F(a, ^, y, x) on convient d'appeler paramètres les quantités a, ^, y, et si l'on appelle fonctions contigiiës deux, fonctions ne différant entre elles que par un paramètre, ce paramètre étant dans l'une de ces fonctions égal au paramètre correspondant dans l'autre augmenté de un, on pourra énoncer le théorème suivant :
La fonction F(a, |j, y, x) et deux quelconques de ses contiguës sont liées entre elles par une relation linéaire et homogène ayant pour coejficients des polynômes du premier degré en x.
Nous établirons seulement une des quinze relations que fournit l'application directe de ce théorème. Nous aurons
-4-(a"H- 6V)F( I -H a, ,3, Y, or) = ^ x'^{pn^ -^ g n- -^rn -z- s^.
/?, q, r, s ont des valeurs indépendantes de x et /i, mais contenant a, ^, y. En annulant p^ q, r, s, on aura quatre équations pour déterminer a, a', 0, b' , c, c' ou les rapports de ces quantités; l'un d'eux sera même arbitraire, mais le calcul montre que l'on doit supposer a' = o. c. q. f. d.
On peut remarquer que
e-' = lim F ( [ , /» , i , — ) >
pour m :=: y:,
Iog(i -+- j:) = j'F(f, I, 2, X),
(I -ar)aF(a, ?, y, x,= F(^a, y - |3, y, ^T^l) '
232 CHAPITUK IV.
on vérifie également la relation
et par suite, en changeant y en y + i, y + 2, . . .,
F(ce, p, Y^^ 0 ^ (Y — ^-^'')(Y — P-H) F(a, p, Y^-2, 1) ~ (Y-')(T — ^ — 3-^"'
En multipliant ces formules membre à membre, on a
Fia, P,Y. ') ^ (y — g) ■ ■ • ( Y — gt -i- » — » )(y — r' ) • • • (ï — ^ -^ " ~ ' ) F(a, [î, Y + «, J> ~ (y+i)...(y + «)(Y — ^ — Éi^-I^••(Y-P— ^^-")
ou
r(Y -H /< -H i)r(Y — a — [b -4- /i -i- 1 j' si dans cette formule on fait n = 00, on trouve
Fra 3 Y . r(Y)r(Y-a-p)
relation remarquable entre les fonctions F et les fonctions eulériennes.
La série très générale de Gauss est un cas particulier de la suivante, dite série de Heine {Journal de d'elle, t. 3!2),
(i-y«)(i-gra+i)(,-yp)(i-^?^i) ^
On a, en effet,
cp(a, p, Y, I, a-) == F(a, p, y, -2^); on a aussi
(,ûrX)(,flrfJ)
-i- ^ — ^-— xo{x-\-\, ^-\-\,'i-\-\,q, X).
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 23c
