XVIII. — Emploi des dérivées à indices quelconques

Considérons l'équation à laquelle satisfont les pol^'nômes de Legendre

fPy dy

(\ — X-) -=-^ — IX -f- -h n( ?i -h i)y = o dx- dx

et que l'on sait intégrer quand n est entier. Supposons maintenant n quelconque et posons (ui désignant un indice quelconque entier ou non)

elle deviendra

dxV-'

, dV-^^-z dV-^^ z , , dVz

Prenons la dérivée d'ordre — u. des deux membres : nous aurons (t. III, p. 493)

»s d'^ d^ , dz , .

( I — x-)—. \-n\i.x —, \M\i-+- 1)^ — nx—, — v-iii-z -^ ti(n-r- i)z =o\

' dx- ' dx ' ^ dx

on réduit cette équation à

„ d'^z dz

( 1 — x^) -r—„ -\- inx -j- = o, dx- dx

en posant

Ci) n( n -^i) — 11.2 — [j. = o ou |x = /i + 1 ,

d'où l'on tire

dz , , „

^^ = Hx^-.r,

l\ désignant une constante, et par conséquent

dx'^

L'équation (i) donne une antre valeur de [j. qui fournirait une seconde valeur dey, qui nous est d'ailleurs inutile, notre but étant seulement de montrer que la dérivée //'""^ de (x- — i)"

csl une solution de l'équation proposée même quand n cesse d'être entier, mais on ne voit pas très bien à partir de quelle limite il convient de prendre la dérivée en question; pour le voir, reportons-nous au calcul fait page 200 : nous y voyons que l'expression

j __L fy'-[y\ d.

satisfait à l'équation (1), et cela quel que soit n, pourvu que le contour d'intégration soit tel que

./ dz [(;; — ir)"+2j

soit nul : il suffit pour cela que le contour se compose de deux lacets ayant même entrée et pour points critiques x et l'un des points — 1 , ou -j- i ,

Une remarque analogue peut être faite au sujet d'un grand nombre d'autres équations : ainsi nous avons vu que le polynôme

' dx»

satisfait à l'équation (p. îi 'i) L'expression

dîy dy . .

fin i»— x'

dx"^

continuera à être une solution particulière de la même équation quand n deviendra quelconque. La valeur de la dérivée (|u'il faut prendre est, à un facteur constant près,

[)rise le long d'un lacet ayant son origine à l'infini el le [)oint X pour point critique.