XIX. — Équation de M. Moutard

M. Moutard a étudié l'équation très générale d^y r , d\o":m(x)~\ dy ,

m et \ désignant des fonctions de x et h une constante. Si l'on pose

J d-y - dyi dk

\ dx- dx dx

cette équation devient

dVA [ , dl0S^T3l\

et, en différentiant par rapport à x,

ly,.

dx-^

dx /

loo;TiTX dx-^

c'est-

-à-dire

dx^ '

aflogTTTA"»^

dx )

formule où

l'on a

pose

Xi =

rfMogTn).

L'équation (i) se transforme donc dans (3), qui est de même forme, par la substitution (2). Opérant sur (3) comme on a opéré sur (i), on la transformera en

d'^yi. , dyz ( d\ozm\\i\ .

-d^-^-d^V'"^ dx j--^-^^^-"'

«/MojïmXX,

236 CIIAPITIIE IV.

et finalement, je suppose, en

Si l'on avait A„ = o, yn s'obtiendrait au moyen d'une quadrature et la valeur de y elle-même s'obtiendrait par une suite de quadratures. (MotTARD, Comptes rendus, i8-5.)

Pour faire une application des principes précédents, nous considérerons l'équation

cl'^Y dy I rflogcX n(n -t-i)

d^ ~^ diy- "dx^ ) ^^ •^'~'''

c désignant une constante, laquelle fournit la transformée

ou

dx^ dx et cela en posant

-Ij=°.

.ri =

on lire de là

dx

ri

Ce- 2/'^

a et G désignant des constantes; ou en déduit i'.

Le cas où \„ = o n'est pas le seul où l'équation de M. Moutard soit intégrable, et il est clair que, pour que cette équation soit intégrable, il suffit que l'une de ses transformées (5) le soit elle-mcmc.