XX. — Équations de Laplace
Nous donnerons ce nom aux équations linéaires sans second membre dont les coefficients sont fonctions linéaires
de la variable x^ parce qu'on peut les intégrer au moven d'intégrales définies, à l'aide dune méthode imaginée par Laplace.
Considérons l'équation
( I .) -j^ ( «/î a- -r- b„ ) -4- --^— ^ ( (tn-i -r -f- 6«-i j -T-. . .— 7( ao^ H- ^0 ) = «• .
dans laquelle <7o, «,, ...; Z>o, ^^t, ••• sont des constantes. Si l'on pose
cette équation prend la forme
' o(a)e^-^[a„3£" ^ a„i a'^-' -+- . . .-^ a^]dx
en posant
cp(a)(a„a"-+- «„i2'î-1 — . . .-i- «o)= G(a ),
celte formule devient
ou, en intégrant par parties,
/ G(a)<'''<-^-T- / [II(aj— G'iajJe^-'^/a = 0.
On satisfera à cette équation en prenant
(2) G(ai )e«.-^ = o,
(3) G(ao)<'^"^^o.
A cet eflfet, on pourra d'abord intégrer l'équation
G'(a)— H(a) = o ou
qui est linéaire et du premier ordre en 'f(a); elle donne, en posant <7„a" + , . . + «o = A, Z^„ a" -h . . . — ^o = B,
o{a) = Ce'' A,
C désignant une constante. Quant aux équations (2) et (3), on Y satisfera en prenant pour a, et a^ deux racines quelconques de l'équation A = o.
La méthode de Laplace tombera en défaut toutes les fois que l'équalion A = o sera de degré o ou i. Il va plusieurs moyens de tourner la difficulté : si A est du premier degré, on pourra prendre pour a, la racine de A = o et pour ao la valeur — oc; si A est une constante, on transformera l'équalion proposée en posant
p désignant une constante. Alors on aura
dy / d
dx
( dz \
d^y [d-'z dz \
—/- = <?P^ -7-7- -f- ap — — h p- L dx'^ \dxt' ^ d:r ' / '
^ = eP~ ( , n ^ -^ d" I •
dx"^ \dx'* I -^ dx'^~^ /-y
en substituant ces valeurs dans l'équation (^i),on obtient une transformée de la forme
^, (?«^ -^ Y") -^- ' --^ -(?o^ -^ Yo) = o,
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. sSq
dans laquelle les |^ et les v sont des constantes : c'est encore une équation de Laplace à laquelle on peut appliquer les procédés que nous venons d'indiquer. ( Voir un Mémoire de M. Spitzer, inséré au Tome 5i du Journal de Crelle.)
La méthode précédente peut s'appliquer aux équations qui définissent les fonctions de Bessel et de Fourier et par suite à l'équation de Riccati modifiée.
XXI. — Emploi des dérivées à indices quelconques pour abaisser les équations linéaires.
Considérons l'équation linéaire
dans laquelle P,- désigne un polynôme entier de degré ;' en x. Essayons d'y satisfaire en posant
dV-z
ce qui la transforme en
Prenons les dérivées d'ordre — [j. des deux, membres; nous aurons
Dans cette formule on a
Ao = P
!^D> , !^(!^-+-Oiv- ^ ;i.(!x + i)...(a-4- »-i) ,
si l'on pose alors Ao = o, on aura une équation algébrique en
2\o CII.VPITKE IV.
•X t|ul pcrmellra d'abaisser l'équation (2) en prenant ^ pour
inconnue.
Si nous appliquons celte méthode à l'équation
d-r dy
dx^ dx
l'équation en <x se réduit ici à a 4- i = o et l'équation en c
ticvienl
d^z dz
dx- ~^ dx '
ce qui donne
dz c . ,
-r- = — > z = c \o<ix -T- c , dx X
y = ex loga: -+- c" X,
c, c\ c" désignant des constantes.
Une légère modification de la méthode précédente permet d'intégrer l'équation
d"y , P r, d"-\r ^ ^ dx"^ I ^ dx"-^
ri) < -^ ^—^ -p"(x)-, — 4--+----
Il suffit, en elFet, de poser
d\>-z ~dxV-
cl l'on a, en difTérentiant — 'x fois,
'^" d^ '^ ^^"-' dJ^^ +. . .-^ Ao3 - o,
(p — l^>* p — [^ — i)ip — I-"- — '>-^
ÉlLUIî l)K Ql ELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 24'
si donc on prend p — a = /i ou a = /? — /?, on a
^ ' dx" 1 cte"-' '
OU
dx"^ I- ^ ^ J ' c'est-à-dire
F{x)z = cp( x),
'f{x) désignant un polynôme arbitraire de degré n — i . Il en résulte que, si rt, b, . . . , l sont les racines de F(^) = o, on pourra écrire
z = A{x — ayi~B(x~b)-^-^...~- L{x - - l) ',
A, B, . . . ,L désignant des constantes arbitraires et, par suite, en différentiant a =^/> — /' fois,
Telle est l'intégrale générale de l'équation proposée. Cette méthode est encore applicable quand F(j;) = o a des racines multiples.
La méthode précédente permet, comme on le voit, d'intégrer l'équation de Gauss au moyen d'intégrales définies.
