XXII. — Intégration d'une classe particulière d'équations

La méthode que nous venons d'indiquer pour intégrer l'équation (3) du [)aragraphe précédent n'a pas eu a|)parence une grande importance, eu égard au résultat obtenu qu'il était peut-être facile de deviner: mais elle nous permet d'aller plus loin.

Désignons, pour abréger l'écriture, par O,'^^ [F(^). y] l'expression

„, .d'"y P r.,, ,d'"-iv p(p -i)^„. . d>'i-iy

^("^ d^ -"7 ^ ("^ dx~^^-^^-i- ^^") d^-^ +•••

^ Pjp^^^.^.(p~m-.^) ^

et considérons l'équation différentielle linéaire

dans laquelle m, />...., p, q. ... désignent des constantes et F, G, ... des polvnûmes de degrés m, n. ... respectivement. Supposons les nombres m, n, p. q. . . . assujettis à satisfaire aux équations

m — /; = n ^ ^ = . . . — a ; posons

nous pourrons mettre (i) sous la forme

dx'>' ^ ^ dx" L -' J

et, si l'on suppose /;? >• /i >■ . . . , on pourra intégrer un certain nombre de fois et abaisser ainsi l'équation proposée. Supposons, par exemple, les quantités /??, Ji au nombre de deux et nt =: /? -4- I : on aura

~[Y{x)z\-^zG{x) = ^{x).

o{x) désignant un polynôme arbitraire de degré n — i : cette équation peut s'écrire

et s'intègre par des quadratures; :; une fois connu, on en déduit j'.