C II API TUF, IV

on y salisCait en posanl

et l'on est ramené à une équation de niénic forme dans laquelle l'exposant de x est diminué fl' une unité et à des quadralnres. (Le cas où m = 2 avait déjà été traité par M. Rummer dans \e Journal de C relie , t. XII, etparM. Lobatto, même Recueil, t. XVII.)

EXERCICES ET NOTES

J. On a, en appchinl X„ le polynôme de l^egenclre, 1 -f- ar \ "' I h ni -.

{m -r-i)(w. -4- 2)(m -i- 3) y ni( m — i)(m — 2)

log =i-\ Xi -^ „- X, -:- ^~ X3 -^

(B.vuEU, Journal de d'elle, t. LVl.) "1. En appelant toujours X„ le polynôme de Legendre, on a

X„-t-X„4., — Xo / Xndx-^\i I \,i-idx-i-. . .-i-Xn I Xof/.r.

(Catalan, Académie de Belgique, 1880.) ;{. Ayant mis un polynôme ^{^x) sous la forme

A,«X,„-^ A„,,X„,i-f-. . .-h AqXo — F(a:),

Ao, A|. ... désignant des constantes et Xo, Xi, ... des polynômes de Legendre, le nombre des racines de F(a7 ) = o égales ou supérieures à un est au plus égal au nombre des variations de la suite

A«;, A/„i , . . . , Aq.

(Lagieiuie, Cuniplci rendus, 1881.)

ÉTLDE DE QUELQUES ÉQUATIONS LINÉAIRES. a^J

i. Soit, en a|>pelanl a^, «j, ... des coefficients constants,

an

yn

on peut trouver une fonction /(.r), telle que

( XlE.MoLLER. Zeilschrift fiir Malheinalik ittid f'/nsi/c, 187g.)

"). Si Ion forme les dérivées successives de la fonction e-^; on trouve

dx'^ ~ "~* ^ '

V« désignant un polynôme du degré n — 1 en x\ prouver que ce polynôme satisfait à une équation du second ordre linéaire et étudier cette équation. On l'intégrera même dans le cas où n n'est pas entier.

G. Si l'on veut une fonction o(ai, telle que

f{x)^ f e-«^*^^'cp(3!)û?a, il suffira de prendre

f e\. o sont ce que Gaucliy appelle ûc.^ fonctions réciproques.

$46 r H API T ni- V.