I. — Quelques règles générales

i" Quand une fonction renfermant n constantes arhltrairea satisfait à une équation d'ordre n, elle est la solution générale de cette écjuation; il en est de même de toute fonction implicite donnée par une équation non résolue renfermant n constantes arbitraires. Ce fait a été établi plus haut \ p. 12).

2" Lorsqu 'uneéquation différentielle contient seulement la variable x et des dérivées de la fonction inconnue y, sans contenir cette fonction inconnue elle-même, elle peut être remplacée par une autre d'ordre moindre.

11 suffît, en effet, d'v faire -j^ = r'etd'v considérer v'comme

nnnvello fonction inconnue : alors -rA? —r-- ... se trouveront

ax- dx'

1 ' dy' (i- y' 1 1 r 11''

renij)laces par -y--, ,\, •> • • • ; lorsque I on aura calcule }' ,

y s'obtiendra au moyen d'une quadrature.

3" [lorsqu'une équation différentielle ne contient pas explicitement la variable indépendante .r, on peut toujours la remplacer par une autre d' ordre moindre d' une unité.

En effet, considérons l'équation

ÉQUATIONS d'oKDRE SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 2^7

dans laquelle j^ désigne la fonction inconnue : posons

dx y ' nous aurons

cl- y il y' dy' dy dy' , dx^ dx dy dx dy '

dx^ dy\dyy )y dy^y \dy)y'

d'^y ^ d Vrpy

dx'* dy L dy- ^

d'*y d V d- y' ,„ / dy' \ - ,1 ,

on voit ainsi qu'en prenant y' [)our f'onclion inconnue et y pour variable indé|)endante, l'ordre de l'équation s'abaissera, et cette équation prendra la forme

„ / , dy' d'^-^y'\

( Huind >' sera connu en fonction de j , et que l'on aura, par exemple,

on en déduira

dy

ou

— , — = dx, nr — I i2

4" Lorsqa' une équation est homogène en x, y, (/.r, ily, d'-y, d'\v, . . . , on peut abaisser son ordre.

Il suffit, en effet, de poser

X ~ e', y — ze' ; on a alors

dx = e'dt, dy = dz e' -- z e' dt,

</2.r =^ e^df^, d-^y '-- d^ z et ;- i dz eUlt -\- z e' dt"-.

248 C II A I' I T It K V .

Si l'on siihslilue ces valeurs dans l'équation proposée et si l'on désigne par n le degré de l'homogénéité, e"^ disparaîtra comme entrant en facteur dans tous les termes, et l'équation dans laquelle se transformera la proposée ne contiendra plus la variable indépendante i : on abaissera alors son ordre comme il a été dit tout à l'heure.

:■)" Lovsqu mie ('(jualioncst liomnnene en y, -f-, -t-^j •••' on peut la ramener à une autre (V ordre moindre.

11 suffit pour cela de poser

on a alors

dy fz,l.r^

dx

d-y /.-rfr^, ^zdx dz dx^ " dx'

Si l'on porte ces valeurs dans l'équation proposée, e'''^'^ disparaîtra comme facteur commun dans tous les termes, élevé à une puissance marquée par le degré de l'homogénéité, et. chaque dérivée de y se trouvant remplacée par une expression qui ne renferme que des dérivées de :; d'ordre moindre, on obtiendra une é(juation en z d'ordre moindre que la j)roposée.

II, — Cas où l'on connaît des solutions.

Lorsque l'on connaît des intégrales d'une équation renfermant des constantes arbitraires, on peut quelquefois en profiler jjour abaisser cette équation et essayer de satisfaire à celte équation en remplaçant les constantes |)ardes fonctions convenablement choisies (en faisant, comme l'on dit, varier les constantes). Nous ferons comprendre l'esprit de cette méthode en ra|)pliquant à une équation linéaire : soient >' la fonclion inconnnc. ./• hi variable; soient r, .).,. )■., des solu-

ÉyiATIONS d'oUDHE SUPÉRIEIK NON LINÉAIRES. 9.\()

lions de réquation linéaire

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