I -^ dx' -^ ' dx

Jj\. p>. . ■ ■ désii^nanl des fondions données de x\ alors C\. c-2, C:i désignant des constantes arbitraires

< '^ ) y ^ c, ri — cojo — C3 j':j

sera une solulion de 1 i i. Supposons que 1 on remplace c^^ Co, C:t par des fonctions de x. et essayons de satisfaire dans cette hypothèse à l'équation 1 i •. en remplaçant y par sa valeur (^2). A cet effet, posons

Ci)

c, , c!,, cl désiirnant ~, -^, -.^ : la formule (2) différentiée ' -' 3 ^ dx dx dx • '

donnera

y' = cij'i — <^2„V2 — 03/3, y" = ^iji — (^".y'-i - - «^s/i,

et les dérivées y'", y'^, .... y" ne contiendront que les dérivées d'ordre 11 — 2 au plus des c; ainsi

En portant ces valeurs de r, j'', y". . . . dansd), on obtiendra une relation ( R) entre les c et leurs dérivées, contenant des dérivées d'ordre n — 2 au plus des c; les équations (3) différentiées donneront c.,, c'g, ainsi que leurs dérivées en fonctions linéaires de c, , c ", , . . • , si bien que la relation (R) deviendra une équation d'ordre n — ^2 (linéaire dans le cas actuel ) en c, . J'ajoute que cette équation ne contiendra pas r, liii-mémc, en sorte qu'elle jiourra être ramenée à l'ordre n — •'). vu que c^.

c-î, c-i ne paraissent pas clans l'équation (Ri, leurs coefficients étant les premiers membres de (ii, où l'on a remplacé y par

c\ une fois connu. (.3 ) donneront c, et c., ; des quadratures donnent alors c,, Co, Cj et (2 ) fera connaître y.

III. — Cas où l'on a des données sur la nature des intégrales.

Lorsque Uon sait qu'une équation dij/érentielle a des solutions communes avec une aut re équation différentielle, on peut trouver ces solutions comme il suit :

Désignons parj'', j', ... les dérivées, prises par rapport à la variable x, de la fonction inconnue, et considérons les deux équations différentielles

résolues par rapport aux dérivées d'ordre le plus élevé cle k. Si m = n en les retranchant Tune de l'autre, on aura immédiatement une équation d'ordre /;/ — i admettant les solutions communes k ( \) cl (q). Si m > n , on différentiera m — n fois ré(|uation (2) et, en la retranchant de ( i \ on aura ainsi une équation (3), d'ordre inférieur à m, admettant les solutions communes à (i^ et (2). En opérant sur [■?') et sur la nouvelle équation (3). comme sur f 1) cl ( 2 i, on remplacera l'une d'elles par une autre d'un ordre moindre, et ainsi de suite. Plusieurs cas j)Ourront alors se présenter :

I" On iinil par tomber sur des équations d'ordre zéro (pii par suite ne sont plus dilférentielles ; on est alors ramené à une question d'.VIgèbre : Trouver les solutions communes à deux équations algébriques ou transcendantes. Les solutions communes à (i) et (21 sont alors particulières et sans constanti's arbitraires, |)eut-étre même singulières.

■i" L'une des expiations (2 ), (3), (4^ • • • se réduit à une idcnliti'-. Supposons, pour fixer les idées, que ce soit 1 é(pia-

ÉQUATIONS d'ordre S U PÉ R I KL' U NON LINÉAIRES. ?.5 I

tion (3) : si (i) et (2) sont de même ordre, ces équations sont identiques, c'est-à-dire ont les mêmes solutions sinon (1), et l'équation obtenue en diffcrenliant (2) /;? — n fois ont les mêmes solutions, et l'intégration de (i ) sera ramenée à celle de (2) qui est plus simple. En tout cas, les solutions communes à (i) et (2) seront les solutions d'une équation d'ordre inférieur à m.

La connaissance des solutions communes à (i) et (2) sera souventutile pour intégrer complètement (i)et, en particulier, si cette équation est linéaire.

Lorsque l'on connaît une rehilion entre les intégrales (T une équation différentielle, on peut en profiter pour décou^'iir des solutions.

En effet, soient r'= ^) y"= ^-r „■> Considérons l'équa-

■^ clx "^ dx^ ^

tion différentielle

(1) V{x,y,y',y", ...) = o; soient u et v deux solutions et

(2) cp(u, P ) = o une relation entre u et c, on aura

Si de (2) on tire u en fonction de v ])0ur le porter dans (3), cette équation prendra la forme

les équations (4 ) et (5) auront alors une solution commune ou, si l'on veut, (i) et

•>,52 CHArMllU- V.

aiiroiil une solution commune que l'on pourra déterminer |)ar la mélliode indiquée précédenimenl.