IV. — Applications des principes précédents

1. Trouver une courbe claies laquelle la courbure soit une fonclion donnée '^'{x) de Cabscisse.

En égalant à o' {jc) l'expression trouvée (t. II, p. ç)8) pour la courbure, on a l'équation différentielle de la courbe cherchée

celle équation ne contenant pas y, on prendra y' pour fonction inconnue, et l'on aura

ou, en appelant c une constante arbitraire,

on en déduit

V/I — (0-tC)2

{^ -^ odx dy = - -^

y est alors donné au moyen d'une quadrature, et l'on a

( o -^ c) dx

/{o ~ c)dx

c' désignant une nouvelle conslanle.

:>."' Trou\'er une courbe dans lti(/ueUe le rayon do courbure soit proportionnel à la nornadr.

ÉQLATIONS d'oKDRE SUPÉRIEIK N O N LINÉAIRES. 253

Si l'on égale les expressions données (t. H, p. 98) pour le rayon de courbure et (t. II, p. 17) pour la normale, en multipliant celles-ci par la constante n, on a

ou bien

Cette équation ne contenant pas x^ on posera

et Ton aura

„ dy' dy' , ^ "" ~dx ^ dv^' '

, dy' i-^y-=nyy —

y' dy' dy

L'intégration donne, en appelant c une constante,

Iog('-+-.K'')= logcjK

si l'on diflérentie cette formule, on a

h cy' dx ^ny'dy'{i-r-y'^-y

et, par suite.

c dx = n{i--y'-)- dy' zx^-n j {\-^y"'-y^ dy'.

Si le nombre n est entier, x pourra toujours s'obtenir au moyen des fonctions algébricpies ou logarithmiques (y compris l'arc tang). Nous allons examiner quelques cas intéressants :

254 CIIAIMTKE V.

1" /i = I . Alors on a

en n'écrivant pas la constante, ce qui revient à transformer les coordonnées. Or (i) donne

l'élimination de r' donne

ex = log(y/c2 >'2 — I -T- cy) ou

gcx — ^c-y- — I -^ cy ; on en tire

e-<'* = cy — ^c-y^ — i , d'oîi

cy-- — 7, — ;

c'est l'équation d'une cliaînette.