II. Supposons /i = — I : alors

= — y(i-r-y2) -'ciy

ou

v' ex =

sans ajouter de constante, ce qui ne fait que transformer les coordonnées; or (i) donne

cy=.

si

l-f-jK

l'élimination dey' donne

c"- x"- ~ c'^ y"- = I, équation d'un cercle.

ÉQUATIONS d'OUDRE SL'PÉRIEIR NON LINÉAIRES. 255

.i" Si /J = 2, on a

cy — i-^y-, cdx — idy, cx — iy-. l'élimination de r' donne

c'est l'équation d'une parabole.

/{'^ Si /? = — 2, on a

cy — 7^ ■> ex = — 1 I - — ,,,., = — — — 7, — arctangv :

en faisant r':= tançj' '^, on a

cy—cos-^o, cx= — siniocosj'f — \'^

ou, posant - = 2rt,

y = la cos^ 2 'f 5 ^ = — 2« sinio cos ' ç — az, OU

j>^ = «(i -^ coso), a" = — a( siti'^ — o).

Chansreons ':> en — ■ — -^ et ^ -:- ar. en x : nous aurons

y = ad — cos'^V x = a('s — sinç):

ce sont les équations de la cvcloïde.

5" Nous ferons encore /i = 4 • alors

C7='i-T- 7-)-, cx = ^

ce sont les équations d'une courbe unicursale du quatrième degré.

III. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit proportionnel au cube de la normale.

L'équation du problème est, en appelant n une constante,

2Ô6 CIIAIMTIIK V,

OU

on en lire

rv' = — «;

c désignant une eouslante, on en dédull

ou

ou

X — i^zn n -r- cy-

ou enfin