VI. — Séries uniformément convergentes

Une série

dont les difféx'ents termes sont fonctions de x., )', z, . . . est dite uniformément convergente entre des limites données de ces variables, s'il est possible de prendre n assez grand, mais fixe, de telle sorte que, quelles que soient les valeurs données à JC , y ^ z-, . . . entre les limites en question^ on ait toujours, quel que soit /),

mod / Ui < £,

z étant une quantité fixe quelconque et N désignant une quantité égale ou supérieure à n.

La série

est unilormémcnt convergente pour les valeurs de x dont le /nodule est inférieur à a<^i ; car, pour rendre

THÉO un: génékali: ues séiuks. 33

il sulfil de prendre

mod

On salisfail à celle foriutde en prenant

a«-t-' Io';(t — aï)

<; î ou n ~ \ < i »

ee qui délcrinine pour n une valeur indépendante de x. Au contraire, la série

x{e-^— 2e---^)-f- x{ïe--^ — le-"^-^ ) -t- . . .

^ xi^nc "-^ — /t-f-ie"'-^"-^)-- . ..

est convergente quel que soit x, puisque la somme de ses ii premiers termes est j:e~-^ — (/i + i)j:e~'"+'^-^,(|ui,pour/i = x, a pour limite xe~^ \ mais elle n'est pas uniformément convergente pour les valeurs de x voisines de zéro, puisque, pour satisfaire à la formule

xe-' — in-^x )jre-«-+-')-^< -, il iaudiait prendre

et (jue les valeurs de n susceptibles de satisfaire à cette inégalité dépendent de x et croissent quand x tend vers zéro.