V. -- Sur un théorème de Cauchy

Presque tous les théorèiiies que nous avons établis directement sur les séries sont la conséquence immédiate du théorème suivant de Cauchv :

Pour qiï une série soit cornez-ge/itc, il faut et il suffit que la somme des p termes qui suivent le n'^'"^ tende vers zéro quand n et p augmentent indéfiniment, quelle que soit la manière dont on fait croître ces deux nombres.

Toute la démonstration que nous allons faire repose sur le

THÉORIE GÉNÉRA LE DES SÉRIES. 3l

sens que l'on alliibue àccs mois « quelle (juc soil la manière dont on fait eroîlre n et /> » ; nous allons l'expliquer. Soil

une série; nous a\oiis déjà prouvé que, si l'on appelle s,i la somme des n premiers lermes, s„j^p — ■ s,i lend vers zéro, quel que soil/>, quand n augmenle indéfiniment si la série est convergente; ce qu'il faut prouver, c'est que :

S'il est possible de trouver des nombres n et /> tels que, v étant su[)érieur ou égal à /^ — supérieur ou égal à /y, on ail. quels que soient d'ailleurs v cl —,

£ étant une quantité donnée fixe, aussi pelile que l'on voudra, la série est convergente.

La formule (i) revient à celle-ci

S.,+r.--S.^=r Os,

(•désignant une quantité de module moindre que i. Supposons £<^i;7:peut être pris assez gi-and pour que, quel que soil -', on ail de même

0' désignant une quantité de module moindre que i , t:'' pcul èlre pris assez grand pour que

et ainsi de suite. Ajoutons ces formules, nous aurons

La différence entre iv et la somme 5,^^.__^ . d un nombre consécutif de termes de la série aussi grand que Ton veut es! donc représentée |)ar une série convergente 0; -4- ^)' t- -r- . . . , puiscpie les modules de ses lermes sont moindres que les lermes de la progression £ -4- s- 4- • . • , qni est convergente. Cela revient à dire que, en faisant croître l'indice n d'une certaine façon, la somme s,t lend vers une limite fixe s. Je

(lis que, de quelque manière (juc croisse cet indice, la limite sera toujours la même. En eflct, supposons n et n' assez grands; mod(5„- — 5„), par hypothèse, peut être rendu moindre (|uc £; en d'autres termes, on peut poser

or s,t a une limite s cl Ton peut j)0ser en même temps

Sn— s -^Wt, 0' ayant un module moindre que i ; donc

s,i' diffère donc de s d'aussi près que Ton veut : donc enfin la série proposée est convergente.