VII. — Théorème d'Abel

Théorème I. — Soient '.p,(x), 'jj.^ix), . . ., q„{x), . . . des Jonctions continues de x, pour toutes les valeu/s de celte variable contenues dans une aire A. Supposons fjue, pjour ces valeurs de x, la série

(\) F<>j= 'fii'j')— 'f2C^)" ... — o„Cx)— . ..

soit uniformément con<^ergente ; la valeur\\x)de la série sera continue pour toutes les valeurs de x en questio/i.

En effet, posons

Çi(-r) -^ '^,{x) -i- . . . -i- 'f„i(jr) = •i(x), z,„(x)~ 'i„+i(^) — . .. = R(x); L. — Traite d'Anatjse, l. 3

o-i cil Al' nui: II.

on aura

et, en donnant à a* un accroissement//, tel que le poliil .r -f // soit, coniiiic .r. à rinli'ricur do l'aire d(> A,

De ces formules, on lire

or, la série (i) étant uniforinément convergente, on peut, (juel que soit :r, satisfaire à la formule

niod U(.r)< z

au moven d'une même valeur de n ; on aura donc aussi pour

cette valeur

modK(.r-i-/i)<£ et, par suite,

(2) mod[R(^^-/0 — R(J")]<2^-

n avant été ainsi choisi, on pourra, puisque 'y , , '^o, .... 'i„, sont des fonctions continues en nombre limité et que, par suite, leur somme '}(-ï^) est continue, satisfaire à la Ibrmule

(3) mod['l{x-^h) — 'l(x)]<i,

pour toutes les valeurs de h dont le module sera inférieur à une quantité II. En observant que le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties et en ajoutant (2) et (3), on voit que l'on aura, pour toutes les valeurs de h suffisamment voisines de zéro,

mod[4'(a:-h h) — •\>{x)-\- R{x -~ h) — R{x)]<.'it ou

mod[F(3r-4-A) — F(^)]<3£;

or 3c est, comme t, une quantité aussi ])etite que l'on veut; donc la valeur F(x) de la série (i) est continue.

THÉor.i;ME II. — Toute série ordonnée suivant les puissances croissantes de x, telle rjue

(1) a^-r aix -\- aiX--\r- ...-{- anOc"-k- ... ^

TIlfiOHIE (Jfi.Nfill ALK 1) K S SlïlUKS. 35

d(ins laquelle </„, </(, a-^, . . . su/tt indépendanls de x^ est uniformément eonvevgente pour tous les points intérieurs à un e.erele déerit de l'origine comme centre ; elle est di\'ergente pour t<jus les j>oiiits extérieurs.

Ce cercle, donl le ravon j)eut èlre nul ou infini, a été appelé par Cauch}' le cercle de com'ergence de la série; son rayon est le rayon de convergence.

Pour démontrer ce théorème, désignons par po, pi, c^, ..., p,,, ... les modules de «o? «^i > (^i-, • • • ? f^m • ■ • etparrle module de x; supposons que, le module de x ayant une valeur 11, la série (i) soit convergente : je dis qu'elle sera encore convergente pour tout module r de x, tel que /'^K.

En elFet, la série

' ~ ÏÏ ~ 1(2 ■ ■ ■ ' R^ ^ ■ • • '

progression géométrique dont la raison -r- est moindre que i,

est une série convergente, qui ne perd pas sa convergence quand on multiplie ses termes par po, pi R, poR-, . . ., nombres qui ne croissent pas indéfiniment, puisque ces quantités sont les modules des termes de la série (i), convergente par hypothèse pour une certaine valeur de /•, dont le module est R. La série

(2) Po -h pi /• -I- p2 ^- -f- . • • -+- Pn r" — . . .

est donc convergente; or c'est la série des modules des termes de (i) pour /-^R; cette série (i) est donc elle-même convergente j)our /"^R.

On démontrerait de même que, si la série (i) était divergente pour une valeur R du module /■ de x, elle serait encore divergente pour r^R. Si donc on donne à x des modules croissants, il arrivera un moment où la série cessera d'être convergente; tous les points intérieurs au cercle du ravon R décrit de l'origine comme centre rendront la série convergf.'utc ; tous les points extérieurs la rendront divergente, c. Q. F. D.

3(3 miviMTin: u.

Je dis mainlenant que la série est uniformément conver- <;cnte à rinléricur du cercle de convergence ou, plus cxacteuicnl, à rinléricur d'un cercle de rayon R moindre que le raxon de convergence d'une (juanlilé fixe )., aussi pcllle que l'on voudra du reste.

En effet, on a

•fi +- 1 M

M désignant la plus grande des quantités p„R", p,/+i 11"+' , . . . , qui est finie d'après ce que nous avons déjà observé. Cette lormule donne successivement

'-ÏÏ

On aura donc si l'on prend

La valeur de n que Ion déduit de là est indépendante de x; donc la série est bien uniformément convergente.

Théouème d'Abel. — Toute série ordonnée sin\-((nl les puissances croissantes de x représente une fonction continue de X à V intérieur de son cercle de con^'crgence.

Une pareille série est, en effet, uniformément convergente à l'intérieur de son cercle de convergence.

Exemples. — i" La série

a pour ravon de convergence i ; elle représente une fonction

Tiii:(»uii: (if; NÉ II Al. F i)i:s sf;uiES. 87

conlimic niiand mo(J^'<^ 1, cl en cdoL elle csl éiralo à

a" La série

(| ne non s ('•[Il (lierons plus loin, est converj^enle quel rjnc soil r,

car le rapport du in -— i)'""' terme an précédciil esl-> ipii

lend vers /.('ro fpiiind /? croît indérminient; le ravon de eonveil^encc est iiilini cl la fonction représentée par la série csl toujours continue.

3 ' La série

toujours diveri;enie, excepté pour .r = o, a un rayon de convergence nul; elle ne représente rien.

On sait que deux polynômes entiers en x, égaux quel que soit X, ont leurs coelTicients égaux; on peut généraliser ce théorème comme il suit :

Théorème. — Si Von o pour toutes les valeurs de x dont le module est moindre quhine quantité finie, ou même seulement pour les valeurs réelles de x moindres quune quantité finie,

(\) tto-^ UiT -^ a^T- -^ ... —a,iT" -^ ... = bo-\- biT -^ ...-^ b„T"-^...,

«0? f^i» • • • • ^U5 ^^1- • • • désignant des quantités indépendantes de X, on aura

ao=b^, «, = 6,, .... a„ = b„

En effet, si l'on fait x = o dans la formule (i), on trouve Go = ^0 j supprimant de part et d'autre «0 et 60, qui sont égaux, et divisant par x, on a

Oi -:- a^x -^ ajT--^ . . . = b, — b,T -^ bsX--- ....

38 CIIAIMIKE II.

Celle forniule a lieu pour les mêmes valeurs de x que (i), excepté peul-èlre pour x = o; mais, en verlu du ihéorème d'Abel, les deux membres sont roncli'ons continues de x; pour .r = o, elles convergent vers les limites a, et &,. Donc, comme ces deux membres restent toujours égaux, leurs iimiles r/, et />i sont égales. Suppriuiaut ^/, et bi de part et d'autre et divisant par .r, on a

d'où l'on conclura encore r/j = Z>o, et ainsi de suite.