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sera un conlrevariaiU ne conlcnanl plus r/, a' , a'\ . . . (m'au degré m — 2, appelons-le Om-2, el ainsi de suite; cp, ne contiendra plus les a, les b, les c, . . . qu'au premier degré et l'on aura, en faisant a = 6 = c = . . . , en vertu du théorème lies fonctions homogènes,

tp„,i=/n'^, '^,„2^ (m — i)'f/M-i, Oi=2'f2,

cl par suite

çn = m( /n — i). ..■?.. 10;

Of est donc égal, à un facteur numérique près, au contrevaliant donné, quand on y suppose « =: ^ = c = . . . , et il contient les <-/, les b, les c, . . . au premier degré seulement.

TnÉORiniE II. — Quand un contrevariant de plusieurs formes ne contient les coefficients de ces formes qu\iu premier degré, on peut le considérer comme un contrevariant de plusieurs formes linéaires.

Soit aijh,, un coefficient de l'une des formes

(le telle sorte que, si Ton fait

la forme se réduise à ((7^ jt, + «2-^2 + • • • + ^/«^w)"'! soit ■s>[aijii___, . . . ) un conlrevarianl; soit F le déterminant d'une substitution (pii changera aijh... en b/j^^,: on aura

Si, eu particulier, ou considère la foime

{a^Xi- - aiX-i-T- . . .-r- a„x,,)"' , laquelle devient après la IrausCormalion

(6,7,— />oJ-, --...-- fjnVnr",

Tiif:ouii: i)i;s sibsti riinoNs liné ai in:s. '.>.-~

il esl clair ([iio Ton aura

':.{a\a{a'\ i - V^-:,{h\lÀl/:, ):

le conlrevariant considéié [X'ul donc cire considéré comme drri\anl dune forme linéaire, dans lequel on remplacerait les produits tels (pic (i\aia'^^ . . . par oij^h...- Kéciproipiemenl. si l'on connaît un contrcvariant Zi(^a\a'., . . .) de plusieurs formes linéaires, on peut en déduire un contrcvariant d'une forme de degré égal au degré de ce contrcvariant en remplaçant o\((i . . . par Oijk,.,. En effet, la substitution qui change (lijk... en ^,y/i... change «/ en bi, aj en bj. .... Cette même substitution, changeant

'^{a'\a{..:) en r^cs (6; A!; . . . \

changera

cp(r//y/,. .. ) en Y"''^{b,ji,. . .

Des deux théorèmes précédents il résulte qu'il suffit de considérer les contrevariants des formes linéaires pour en di'duire tous les contrevariants des autres formes.