XVII. — Sur les combinants
On appelle combinant de n formes liomogènes à n variables
f^{ai,a\ .. .,Xi. ...,Tn), f2(o,,a\, ...,.r,, . . .,.t„), . . ./,,,
OÙ les a représentent les coefficients et les x les variables, une fonction qui jouit de la pro-priété de se reproduire par la substitution
F2 = 3(21 J\ — ^22 fl-^.-.-h %in /«,
à un facteur près, égal à une puissance du déterminant
-j- aiia22 . . .0L,i,i
TU f- ouïe des s UBST fictions LINf:AinES. 2C)-]
delà subsliliilion, loiil en élanl un co\ariant de ces formes. Ainsi, si l'on considère une substitution
^1 -^ "'il.?'! ... - Y-«'^'"
une lonclion K sera un conihinant, si l'on a à la fois
K(a, a', . . , Xj. . . . \ = \'^K{b,ù\ . . ., CTi, . . .).
Le déterminant d'un système de fonctions, le liessien d'une fonction sont des combinants.
XVIII — Sur une propriété générale des formes.
Théorème. — Toutes les fois qu'une proposition relatiie à des polynômes homogènes ne comprend pas dans son énoncé uniquement des co^'ariants ou des invariants, on peut toujours en déduire une proposition plus générale dont elle n'est qu'un cas particulier et qui, dans son énoncé, ne renferme que des invar iajits ou des covariants.
En cITet, supposons que la propriété en question résulte d'une ou de plusieurs équations simultanées (et il ne saurait être question ici d'autres propriétés), ces équations contiendront des variables x el les coefficients a de certaines formes; soit ([) F{Xy, ..., a, ...>=f{x:, ..., a. ....
l'une d'elles. Si nous effectuons une substitution linéaire, elle deviendra
(■2) F,(.r',. . . ., r'\ ... I ^fi(x\. ...,a' . . . ^
a' et x' désignant les nouveaux coefficients et les nouvelles variables. Si la substitution linéaire effectuée a tous ses coefficients indépendants, une nouvelle substitution ne modifiera pas la relation Fj ^ /i, en ce sens qu'elle aura jjrécisément
268 (Il A rn 11 K x.
la même f^éncralilé que celle c-cjualion ; les deux membres (le (2) seront donc des covarianls ou des invariants, el les loi-mules (2) consliluent la Iraduclion ali^r'hiicjue du lliéolème général dont les équations (i) sonl le cas particulier, car on reviendra de la formule (2) à (i)en faisant des liv|)0ihèscs particulières sur les coeflicients delà transformation cl sur les coefficients a' .
Celle méthode de généralisation des ihéorèmes d" Vlgèhre a été tout d'abord usitée en Géomélrie par le général Poneclet, el c'est ainsi que des propriétés du cercle on a jiu déduire une foule de propriétés des coniques en mettant le cercle en perspective. Nous verrons plus loin que mettre une figure en perspective, cela i-evienl à appliquer à son équation une suhslilulion linéaire.
Il est l)ien clair qu'une proposition qui dans son énoncé ne contient que des covarianls ne peut plus être généralisée par une transformation linéaire.
D'après ce qui précède, on voit que le but de la théorie des substitutions linéaires est de généraliser les propriétés des polynômes, et la connaissance des invariants et des covarianls fournit leurs propriétés les plus générales el aussi les plus simples.
Il serait donc très important de connaître tous les inval'iants et les covarianls d'un système de formes, car ce sérail connaître les propriétés générales de ces formes : nous allons procéder à celte recherche.
XIX. — Démonstration d'un lerame important. Considérons n -^ z lignes de n élémenls chacune, savoir
TIlfidRIE DES SUBSTITUTIONS LINl-AIKES. 2()'.)
Avei; lonles ces lii;n('s on j)ourra former C;, ^c clétcrminanls ; Ions CCS (lélcrnilniinls mis ù la place de 0 dans les é([iiaLions dont If Ivpe est
cl qni b(tnl au nondjre de /H// — i), salislonl idcnliqucmcnL à ces éqnations, comme on le constate facilement à l'aide d'nne propriété fondamentale des déterminants. Réciproquement, nous allons prouver que les équations (2) ne peu\ent avoir pour solution (•) qu'une fonction de ces déterminants.
Nous décomposerons la démonstration de ce théorème en trois parties ;
1" Si t est négatif, c'est-ù-dire si le tableau (i) 11 a pas Il lignes, les équations (-a.) n'ont pas de solution^ fonction des a, b. . . . l.
2" Si s =^ o, elles ont une sululiijn fonction du déterminant des éléments (1).
3" .S" /7c théorème est vrai pour £ = s,, Usera encore crai pour c = s, -i- I.
1" Si t est négatif, le nombre des dérivées de B qui entrent dans le groupe suivant :
Otti
de
Ooi -
<)bi "
<kii
est moindie (pie /?, c'est-à-dire est au plus égal au nombre de ces équations ; il faut donc supposer
de de
Otti obi
ce qui montre que 6 ne saui'ail contenir les éléments du tableau (i), (Nous suppcjsons, bien entendu, qu'il n'existe
aucune rehitlon enlre les éléments de ce tableau.) Ainsi la première parlie de noire théorème est démontrée.
a" Supposons s = o, et soit P le déterminant des éléments du tableau (1). Prenons P comme variable à la place de a,-; nous aurons, en désignant par un d\cs dérivées prises dans le nouveau svstèmc de variables,
f)& r/0 r)P Oit, dl' dtt,-
t)e de ()P de
de ,
de ,
de , db^'^ ■■
de .
Substituons ces valeurs dans (3), en observant que les équations sont satislailcs pour© = P, nous aurons
les autres équations du groupe (2) ont conserve leur forme, à cela près que dj est remplacé par d. Mais le système (4) contient n — I dérivées de 0; et, comme il se compose de n — i é(piations, il laiil que 1 on ail
de de de
(Lbi (ici ail
donc B ne contient ni ^/, ni c,, . . . , ni //. Pour trouver 0, on j)eut supposer bi =: Ci=i . . . =r. /,• = o dans les autres équations (2) transformées; le groupe
de de , de ,
fUij !bj dlj
de le de
daj""'' Jbj""^-- Tlj"^
1 1' - • de , , , ,.
contient alors 1 équation - — zxz o et prend la même lorme
THÉO RI F. Di:S srilSTIl TTIONS MNf'AlIlKS. 27 I
(jue (4).troù l'on conclu l f|iic(-) ne coii lient ni dj ni hj ni cy,...; en d'aulres lermes, (|uan(J on prend pour varialilc P et tous les éli'nienls du tableau (i)à l'exception de <7/, Wne contient que P cl est une fonction arbitraire de P. La seconde partie de notre tbéorème est donc démontrée.
3" Supposons le théorème démontré pour le cas où le tableau (i) possède n -\- s, lignes, et supposons qu'il en possède actuellement/? -1-3, H- 1. Je dis d'abord que, si l'on prend Il -f- I lignes dans le tableau (i) et qu'avec ces n + i lignes on (orme les déterminants Po, P», • • • ^ P«+( qn' "C renrerment pas la deuxième, la troisième, . . ., la n' ""^ ligne, on pourra calculer les a en fonction de P:,, P3, . • • , P«+i; il suHit pour cela de prouver que, si l'on pose, en appelant ^1, /o, . - ■ , /« la {n + i)''"'" ligne du tableau (i),
les équations
seront compatibles, ou, si l'on veut, comme elles sont du premier degré enrt,,rt.j elles n'auront pas leur déleimi-
nant nul. 11 suffit pour cela de considérer un cas particulier, celui où l'on aurait
la i
hi= «>,
fl
Ci= 1 ,
les équations (.")) prennent alors la forme
rt, = l'.,, (1-2 = r'3, ....
Ainsi, s'il n'existe aucune relation entre les éléments du tableau (i), on pourra prendre pour variables à la place de «,, rto, . . . , ff,i ces déterminants P^, P3, . • • , P«+i-
•3J2 Cil API THE \.
Désignons par un d les dérivées quand les Po P//+i , 1*
h. les (\ . . . sont variables indépendantes^ on aura
ikii dV^ Oai dVi Oa, >)S de dai ^ de ()P:i ^
en observant alors que les éipiations (2) ont pour solutions les V, ces équations deviennent
de , de de ,
Ces équations, par hypothèse, ne renlennent que les variables d'un tableau à /i H- £1 lignes; elles n'ont donc d'autres solutions que les déterminants que l'on peut lornier avec les éléments de ce tableau ou leurs fonctions arbitraires, pouvant par suite renfermer P^, P^, • • -, P«+i, ce qui revient à dire que 0 est une Ibnction de tous les déterminants que l'on peut former avec les éléments du tableau de /i -4- £| -r i lignes. xNotre théorème est donc démontré.
XX. — Recherche des covariants et des contrevariants des formes linéaires.
Soient
Xi, X2, ... ! X;i )
des variables cogrédientes, et
bi, 0-2, — On,
des variables contragrédientcs, un certain nombre de ces
tiiéoiuf: ORS substitutions linéaires. 273
variables conlraj;r('diriiles, loules même (voi/- p. o53), pouvant cire les coclficienls de formes linéaires, telles que
Soit B(<7,, (t.,, . . . , ^, , h-,, • • • ' -^n -3^27 • • •) "" conlrevariant de ces Cormes; si l'on efleclue la substitution unimodulaire
on aura
ji = j'i -- ^"72 > r-i =72, . • • , r« = y,.
b\ = bi, b', =--■ b-i -+- Ibi, b\ = 6.-;,
c\ — Cl, C, = C2 -T- ÀCi, C-'j = C3,
les lettres accentuées désifjnant ce que deviennent les lettres non accentuées après la transformation.
On aura ensuite
ou bien
(-)(«!, «2j •••, ^Ij -2^2, •••)=0(<'l, «2-^^-«l, ••••• -î"! ^'•2'2) ^2, • • • )•
Egalons les coefficients de A dans les deux membres, après avoir développé le second membre par la formule de Taylor; nous aurons
()% dQ o = ai- ^... — Xi- ...
OU, plus généralement^
^'> ''^ô^-^^'ôbj-~---'=^^oF,-^^'^ôyr'---'
Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire tous les invariants, divariants, covariants et contrevariants des formes linéaires.
I^. — Traité d'Analyse, 1. 18
Introduisons, s'il le CauI, assez de variables cnnlragrédienles pour {{uc le nombre des fondions linéaires
Aj,~ aiXi-ha,T2 -. ..-' (7„.r„, Jij. = bi^i^' biT-i • . . . ■b„.T,i,
soit supérieur ou au moins égal à n; on pourra, aux variables a:^, x-2, . . ., x„ substituer n des nouvelles variables A.r, Bj-, Cx, . • . , aux variables j'i, J^., . . . , )« substituer les variables A,-, B,5 C,-, .-., en désignant ainsi ce cpie deviennent V,., B.,-, . . . quand on y remplace x par )', .... Désignons par un d les dérivées prises par rapport au nouveau système de variables; nous aurons
ûa,-
dS
dcii
de ()\^.
f/A.,. àa,-
de dn.v
àa,-
d.rj
de ')A.r dAjr à.Tj
fie dn.r
àXj
Substituons ces valeurs dans (i) et observons que cette é(pin-
tion est satisfaite en posant 0 = A^, Bj-, . . . , Ay, B, , ... ; il
viendra
de , ^0 , de
daj dbj (Il j
Les équations contenues dans ce Ivpe n'admettent pas d'autres solutions, comme on l'a vu au paragraphe précédent, que des fonctions arbitraires des déterminants que l'on peut former avec les variables contragrédienles ; dans l'fxpression de ces fonctions pourront entrer A^, B, , .... <pii ne dépendent pas des cij, bj, ... au point de vue où nous sommes placés; donc :
l^oifl contreiciriant de formes linéaifes, dans lequel il entre suffisamment de variables contra grédientes, est une fonction : i" de ces formes, 2" des déterminants que Von peut former cn-ec les variables contragrédienles, y compris les coefficients des formes.
(3n dit quelquefois aussi que le conlrevarianl peut conlonir
THÉORIE DES S l' B S T I T L TION S LINÉAIRES. 27.J
les covarianls identiques qui sonl les déterminants formés avec les variables cogn''dienles, mais ces covariants sont fonctions des formes et des déterminants des variables contragrédientcs.
Les invariants et les co\ariants étant des cas particuliers des conlrcvariants, on voit que moins de n formes à /i variables el du premier degré n'ont pas d'invariant. Plus de n foi nies linéaires à n variables ont pour invariants les déterminants que Ton peut former avec leurs coefficients, et en général leurs fonctions. Les covariants en contiennent outre les formes elles-mêmes.
XXI. — Recherche des covariants et des contrevariants des formes quelconques.
Tui':oRÈ\iE I. — Tout conlrevariant cl une ou de plusieurs formes peut être considéré comme un conlrevariant de plusieurs formes dans lequel les coefficients des nouvelles formes n^ entrent qu'au premier degré, conlrevariant dans lequel on suppose certaines formes égales après coup.
Soit, en efl'ct, '^(rt, r/', rt". . . .) un contrevariant dune forme avant pour coefficients a, a' , a" , ... ; soient b^ b' , b" . ... les coefficients d'une autre forme de môme degré m. La quantité
Ml b -^ r- b —h -T- b — ^ — . . .
ôa ()a oa
sera un contrevariant des deux formes, car
o( a /Jj. a -'- Kb' . ... I
est un contrevariant des deux formes, quel que soit "a; le coefficient de A, qui n'est autre chose que l'expression (i), est donc aussi un contrevariant des deux formes; or le nouveau contrevariant (i) ne contient plus les a qu'à un degré inférieur à m d'une unité, appelons-le o,n i. Soient encore r, c', c", ... les coefficients d'une nouvelle forme d'ordre m.
