XXII. - Méthode de M. Cayley
C'est M. Aronhold qui a ramené la recherche des contrevariants à ceux des formes linéaires, mais AI. (^avley [Cambridge and Dublin matheniatical Journal, t. I; Journal de Crelle, t. 30) avait antérieurement fait connaître une méthode qui donnait tous les contrevariants; il est facile de déduire celte niélhode de ce qui précède. Soient
«i^Tj — UiXi — . . .-^ a,iT„^
biTi - b^Ti^ . . . -baX.i,
des formes linéaires, et
(0 ^{a\a{...b'ib'.^...)
un conlrevariant de ces formes; si l'on v suppose «1 a{. . . = aij,,, b'ib'., . . . ^ 6/,/...,
278 CIIAriTUK X.
on obtiendra un conlrevarianl tic formes de degré plus élevé et l'on pourra même ajirès cou[) supposer o = b = . . . .
Avant de l'aire celle livpotlièse « = 6 = . . . , désignons par / la forme qui a pour coefficients «/y..:, par g- celle qui a pour coefficients bki..., etc.; on a évidemment, à un fadeur numérique près,
'- ôx\ dx{ ...
en sorte (juc le conlrevarianl (i) pourra s'écrire
dx\ dx':.
à la condition de remplacer les produits, tels que
par
à'f àJf <)t\ ôx^^
ôx\ ôxi . . .
Ainsi, pour former les cont/'evariants, on peut dans les contreçariants des formes linéaires remplacer les coeffi-
cients de ces formes par les symboles -r—, -f— ? • • • •> à la ■J ' ' dx\ 0X2
condition de remplacer les puissances de ces sj'mboles cl leurs produits par des dérivées d'ordre supérieur.
Or les contrevarianls des formes linéaires sont des fonctions des formes et des déterminants de ces formes; en considérant les variables contragrédientes comme des coefficients de formes linéaires, les contrevarianls des formes f-, g-, • • • pourront donc être représentés comme des fonctions de déterminants, tels que
dxi
àf dx,i
àg dxx
dg ôx, '
'>g àXn
sont des variables contrajrrédienles. Les
fonctions ainsi obtenues ne contiendront les coefficients de /,
TIIÉOUIE DES SUUSTITL TIO.NS LINÉAIRES. 279
«',... qu'au premier degré ; mais, en prenaniy= ^- ^ . . . , on aura des coutrcvariauls plus j^énéraux. après coup.
Si l'on s'allaclic plus spécialement à la lormalion des invariants, on devra former exclusivement des fonctions des déterminants, tels que
,)/ ,)/ ôf I
Oxi dx, ' ' ' OXn
dxi dx, ' ' ' Ox,i
et les prendre à un degré, par rapport aux dérivées, égal au degré des formes, alin que les variables disparaissent.
XXIII. — Application des théories précédentes aux formes binaires.
Invariants.
Tout polvnome entier en j:,y'(x), peut être considéré comme un polynôme entier à deux variables en x et >', homogène, dans lequel )'= i. En efifet, soit n le degré de y"; il est clair
que )"/(-) est le polynôme homogène en question. La
liiéorie des lormes binaires n'est donc au fond qu'un complément de la théorie des polvnômes entiers à une variable.
Théurème. — Tout invariant d'une forme binaire est une fonction symétrique des racines de l'équation obtenue en égalant cette forme à zéro; cette fonction ne doit contenir que les différences des racines en question; enfin dans chaque terme les racines doivent toutes entrer un même nombre de fois.
D'abord il est clair f[u"un invariant, devant être une fonction rnlière des coelficients de la forme, sera fonction svmétiique des racines; de plus, si Ton augmente chaque racine de /.. ce qui revient à faire une substitution linéaire de module I, un invariant ne doit pas changer. Or les différences des racines ne changent pas : et d'ailleurs, pour que ces diffé-
28o cn.vriTRE x.
rencos ne changent pas, il laut cl il suffit que les racines aui;menlcnt d'une mcnic quantité. L'invariant restanl constant en même temps que les différences des racines est donc une fonction de ces difierences.
Faisons maintenant la substitution
X = Àr — [xj-, r — \'x - \x'y, ce qui revient à faire dansf{x) =-= o
l.r' -^ [xy' \x' — ix\ V x' -T- \x' y' X'x'-t- [i"
l'invariant est multiplié par (â;j.' — ;J-''0"'- ^"^ racine x^ devient s, ,' ,> la différence x, — x-^ devient
A Xi-^ [X
1 X\ — [X X x'„ — \x (X ijl' — ).' ix) ( x\ — t'.t,^ ^
\'x\ — |Jl' V x'.^ -r- \X (X'j^i -n \X'){\' x'., -^ [x')'
pour qu'une somme de produits des différences des racines ne soit multipliée que par un facteur, il est nécessaire qu'une racine entre un même nombre de fois dans chaque terme.
Il résulte de là que l'invariant le plus simple d'une forme binaire est son discriminant, c'est-à-dire le produit des carrés des différences de toutes ses racines.
Si l'on considère la forme /(x,jk), le discriminant de cette forme est le premier membre de la résultante des deux, équations
ou
c'est-à-dire
df àf ùf
ùx fJx c)j"
En égalant le discriminant à zéro, on exprime que/= o a une racine double ou que/(a:,jK) a deux facteurs linéaires égaux. Or, en égalant à zéro le produit des carrés des différences des racines ou le dernier terme de l'équation aux carrés
Tllf:<>lllF. DES SLBSTITL TIONS LINÉAIKES. 28 1
des dillV-rences, on obtient la même condition ; le discriminant est donc le dernier terme de l'cqnation aux carrés des dillVrences : c'est évidemment le plus simple invariant.
Théorème II. — Tout coKCiriant cV une forme binaire est une somme de produits de différences des racines et de x
( ou- j dans lesquels toutes les racines entrent un même
nombre de fois (démonstration analogue).
\ oici maintenant un moyen de former des invariants, qui s'appliquerait aux fonctions de plus de deux variables, mais qui conduirait pour ces fonctions à des calculs très compliqués.
Soit n le degré d'une forme binaire f{x, y) et soit ij. le degré d'un invariant que l'on se propose de calculer. Un iiivariani, étant une somme de produits des dilTérences des racines, homogène par rapport à ces racines, aura tous ses termes de même poids.
Faisons la substitution j; ^j^', j^ =^ .r'; cette substitution, de module — i , a pour effet de changer le coefficient ai de la forme en ««, ; en appelant alors a, ,3, . . . les indices d'un terme de l'invariant, on doit avoir
ou, en appelant/? le poids de l'invariant, à savoir a ^- ^ j — . . , ,
p ^= \xn — p on p ~^ \ \i-n.
Le produit 'xn doit donc être pair; donc :
Une forme de degré impair n'a pas d'invariant de degré impair.
Le poids de l'invariant étant connu, sa partie littérale est déterminée; il ne reste plus qu'à calculer ses coefficients, ce qui se fera au moyen d'équations que nous allons faire connaître.
Soit V l'invariant cherché, il ne doit pas changer quand on remplace X par x -\-yZx; donc, en appelant r>aQ,Zai,oa.,, . . .
262 CIIAPITHK X.
les varinlions que subissenl alors les coefficirnls r?,,, (l^, . . . ,
de la forme, on doil avoir oV = o on
(i) -— orto- — -'■■"Tfi- — -o<72- . . .- o;
Oa^j ilOi ila-i
<run autre coté, la forme elle-même esl (le\enuc
«o(-^-!- J0-2?rH — a^{x~ jj-oj-)"-'-' ; a.i(x — y rjxy^-^ -T- . . .
ou
rt(/i— 1 ) ,^ , ^
H (aoj>--o./'2 ■xas.y^j.r «2)--...;
donc
orty ^ O, o«i = aoJ'O.r, 0(72 = ''-«i.TO.r, ....
et par suite on a, en rcmplaranl dans (i) oc/^, 0^/1, • ■ • par ces valeurs,
( ï) - — an-^i- — «1--J-; — a-2--...= o.
àai dOn Oos
On trouve de même
oa,i-i dcta—i
Pour montrer l'usage que l'on peut faire de ces formules, clicrclions l'invariant biquadratique d'une forme cubique.
Ici n =^3, [J. ;= 4? P = ^> 1 invariant cherche V est de la forme
L'application de la formule (2) donne
iG-t-2E = o, aD^GB -3E-0, E GAr^o, iD-h3G = o;
d'où l'on tire, en posant £= — 0,
A \, B = 4, G = i, D = — 3; linvariant cherché est donc
al al— \a.'ia<i-^ \tti(i'\ — "iala-^ — G«o<^'2<''i <^3 '■ c'est, comme on peut s'en assurer^ le discriminant de la (oi-mc.
rilf:()lUE DKS SI BSTITL' ilONS LINfiAlUKS. 283
Celle niclliode est apj)licablc aux covariaiits et aux Invariants de toutes les lormes et même de plusieurs formes simultanées, mais elle se complique. On a songé à l'employeipour la détermination de la résultante de plusieurs équations ; on peut en voir des exemples dans la Théorie générale de réliinination (') du chevalier Faà de Bruno.
EXERCICES ET NOTES
1. Les invariants des formes binaires jouent un rùle important dans la théorie des équations; les invariants d'une formey(vr,j') sont, comme on l'a vu, les fonctions des didérences des racines de l'équation/(.r) = o. Parmi ces fonctions, il faut distinguer le dernier terme de l'équation aux carrés des difFérenccs, qui peut se mettre sous la forme
oii ai, ao, . . . sont les racines dey(j:') — o, et encore sous la forme
A'o, Si.... désignant les sommes 7 a», 7 a, 7 a-, ... Ce résultat s'obtient en fai-^ant le carré du d/'lerniinant
qui est le produit des différences des racines ai, aj, . . ., a^. Ce produit des carrés des différences des racines est le discriminant Ae f{x,y); en l'i'galanl à zéro, on a la condition pour que/(a;) = o ait une racine double.
(') Grand iii-8; iS.'xj. Paris, Gaulhicr-Villars.
284 ni.VIMTHK X.
"2. l 110 fnnnc binaire de dogré /i a autant de covariants du degré /), |iai' rapport à ses coefficients, qu'une forme binaire (bi (b^gré/) a de covariants du degré /i par ra|)porl à ses coefficioiits (loi de rc'ciprocité de M. Ilermile).
