I. — Définitions

Jî liniincr x,y^ z, ... entre un certain iiornhrc d'équations, c'est, dans i'accepLion la plus large du mol, trouver une ou plusieurs équations qui soient des conséquences nécessaires des é(|uations proposées et qui ne contiennent plus. r,r, z, . . .

Celle (lélinition jieut être Irauslorniée : coiisiih-ions les équations

(l) '^y — O. Cfo "^ O, ... Cp/,4.1 -= O,

dans lesquelles 'j,, ci^? • • -^ 'f"+i désignent des lonclions de; X), x-y, . . ., Xn- Supposons que l'on ail pu former une consé(picnce nécessaire R ^ o de ces équations, ne coiiiciKin! plus X,, X-^', •••, Xn. R = o étant conséquence nécessaire des équations (i) ne pourra avoir lieu que si c s équations sont satisfaites en même temps, c'est-à-dire cpie si elles ont an moins une solution commune, cl elle aura lien dès que ces équations auront une solution commune.

Ainsi éliminer X \., .r^, ... entre des é(piati()n.s (lonni'-es, c'est tn)n\('r la condition nécessaire el snKisanle |)()nr (pie ces équations aicnl au moins une solution commune.

La condition nécessaire et suffisante, R == o, pour (jiie les é(piati()ns (i) aient une solulion eommniie, est ce que l'on appelle la résiillante ûcs équations (i).

On ne possède aucune règle générale pour trouver la résullanle de deux ou plusieurs équations transcendantes. Il est souvent lorl difficile de di''lermincr la n'-snllanle de plusieurs éfpiations algébriques qui n'aireelenl pas la forme entière.

s un l'élimination. 287

Lors([ue l'on veut t'Iiminer a*,, x-,, . . . , x„ entre des CMjualions IcUes que(i), où '^,, cp.j, . . ., '^„^, désignent des polynômes entiers, on se propose généralement de déterminer lu résultanteR= o,de telle sorte que II soil un polynôme entier par rapport aux coefficients de 'i,, z>.,, ... et de degré mini- Miiirn par raj)port à ces coefficients. R est alors déterminé, comme nous le verrons, à un facteur numéri([uc près. ^NOus di'lerminerons même ce facteur numérique, et alors le polynôuic 11 sera ce que nous ap[)ellerons le n''siiltant ou \ éliminant des fonctions cp,, cp^, ..., '^„+\ pi'i" rapport à