II. — Coefficients, arguments, poids, etc

Si nous considérons un polynôme quelconque entier en .r,, x->. . . . , x,i, ses termes se composeront en général de deux groupes de facteurs; les uns contiendront les variables

.r,, x-^ les autres en seront indépendants. Le groupe

de lacleurs indt-pcndanls de j",, Xo, . . . dans un terme sera le ('(x'fjicient du terme, l'autre groupe en sera Vargunienl. Vinsi, dans le terme laxy, l'argument est xv et ia est le coel'ficient.

Etant donné un polynôme entier, nou^ le tendrons souvent homogène ; pour cela, nous introduirons dans chaque terme un lacleur fictif ([ui sera une puissance de t, que nous su|)p()serons égal à i; celle puissance de l sera choisie de telle sorte que le degré du terme (pii lui est relatif devienne égal au dei;ié du polynôme donl il fail partie. La variahle t sera toujours supposée (aire partie du coefficient et non de l'argument du terme auquel elle a été adjointe.

Cela posé, nous appellerons poids dun terme le degré de ce lerme [)ar rapport à la variahle / ; par exemple, dans le poU iKune

:î88 chapitre m.

(|ni. rendu lioniO};rnc, devlenL

a^>x">-- aitx'"-^ — . . .-; aii'x"'-'-h. . .,

dit' est de poids i, «, est de poids i.

Le poids d'une fonction quelconque des cocnicivnls de plusieurs |iolvnouics sera le de;;rc de celte lonclion |).ir rapport à la variable liclivc /. Ainsi, par exemple, si l'on considère les pol\ nomes de degrés m cl /i

Vo/y/,.r'y^/^- et ^b,j,,T'yJz''-, la fonction

sera de poids

m —ii^j^ k) -~ in — -lip -f- 7 — /■),

et ainsi de suite.

Théorème. — Les solutions {rjuand elles en ont) des ('qualions entières en X), Xo, r,,

II) »i— O, Ç)2= O, . . ., 'ùa— O

sont des fonctions de poids égal à i .

En effet, supposons que x^^a^, x^^^a^, •-.. Xi,^=a,i soit une solution des équations (i); changeons la variable fictive t qui donne le poids en kt\ un coefficient P des équations (1) de poids p deviendra V kP, mais, dans ces circonstances, les équations seront satisfaites en posant

Xi = kdi, X.2 = ka-i, ... ;

les solutions sont donc des fonctions homogènes de l du degré i : leur poids est donc i .

Il résulte de là que, si une fonction des solutions peut s'exprimer rationnellement au movcn des coefficients des polynômes '-p, son poids sera égala son degré pris j)ar i;ip|)ort aux solutions qui entrent dans son expression.

Celte remarque est de la plus haute importance dans ce

s Lit l/ÉLr. MI. NATION. nSiJ

(|iii va suivre, et nous dispensera de Caire un certain nomhre de di'moiistralions directes ([ui {)réscnlejil généralement des dillieullés.