III. — Fonctions symétriques des racines d'une équation
On appeWe/onction s\métrif/ue de quantités a,, y.., a,„
une fonction qui ne change pas de valeur quand on permute ces lettres d'une façon quelconque.
Pour lormcr les Ibnctions s\ métriques des racines d'une équation, on forme d'abord les sommes des puissances semblahlesdes racines, et voici comment :
Soit (i) '^(■^) = «o-J^'" -r- aix'"-^~i-. . .— a,„ = o
une éfjuatioii du degré /;/, a,, a^. . . . , a,„ ses racines; on aura
o(x)= ao(x — %i){x — x,) ... (x — 'x„i).
ou, en prenant les dérivées logarithmiques des deuxmembres,
f^j'ix) I II
Développons ^ — '— en série ordonnée suivant les puissances de -? et soit " -i ^, + . . . ce dé\eloppement ; déve-
X X X- Ai
loppons également le second membre de la même façon, en observant que
nous aurons
et, en égalant de part et d'autre les coefficients des mémc« puissances de —■>
Sq = m — ^ t.", Si ~ > a, 5^ — ^ a-, .... L — Traité d'Analyse, I. ig
290 CIlAI'iriiE \l.
Donc : la somme des puissances i''"""^ des i-aeiiies d'une ('■(/uation '■^(.r) = o est le coefficient de -— -^ dans le dévc-
loppement de^^ — ordonné suiva/H les puissances de-' ■' -' '^{-'') ^
On verrait de inèmç que la somme des puissances — l'-mes des racines est le coefficient de x'~' dans le développement
de -^ — r ordonne suivant les puissances croissantes de x
(quand il n'y a pas de racine nulle).
Plus généralenienl, soient /'(j^) une fonction entière quelconque et E(.r) un polynôme entier en x convenablement choisi; on a
le coeriicient de - dans le second membre dc\clop[)c suivant
les puissances de - est 7 ~ — .; donc
^ X jmâ 'f ( a )
1° La sommet ~rr^ est le coefficient de - dans le dé-
Keloppement de —. — { ordonné suivant les puissances de -- ' ^ o{jr) ■' X
2" Si le polynôme f{x) est de degré m — 2 au plus, le
coefficient de - dans ^ — { sera nul : donc, /'( x) désignant un
polynôme de degré m — 2 au plus et o^x) un polynôme de degré m, a une quelconr/ue des racines de 'f{x) = o, on a
et, en. particulier,
et
«,, désignant le coefficient de x"'- dans '^(.r). Ce dcrni T lliéorcme est d'Eulcr.
SL'K l'élimination. 29 1
3" Si /'o/i .s7//Y>o.s7' /'(.r) -= '^'(.r)F(.r), F(^) désignant
un pol\ nùnx' (luclconquc, on voit <inc > i' (î') sera le coef-
1 ci'( or\^ i ûr\ fuient de - <Ians le (U\-elopnenient de ~ — ^-^ si/ivonf les
iniissanees de - • ' .(•
(]c dernier lliéorèmc aura encore lieu quand '-^(jr) = o aura (les racines niulliples, pourvu <[ue, si aesl une racine d'ordre de niulliplicilé /, on lasse figurer / fois le Icrnic F (a) dans
7 F(a); et cela, en \ciiu de la conlinuilé des racines par
rappoi'l au\ cocfficicnls.
l^es sommes s^, 5|. ... pourront se calculer ainsi, soit par une simple division, soit par la méthode des coefficients indéterminés; ,Vu, .">,, . . . sont icspcctivemcnt de poids o, i, ?., ... et entiers par rapport au\ coefficients <:/,, Oo, • . . mais non par rapport à <7o.
En général, on a, en appelant toujours a,, y.o, . . . les racines de z> (x) = o,
Xj jto • • • ^«— 1 ^«
^ a', ^ al . . . y.'; ^ -/, — ^ 1'.^'
11 n'sulle de là «pie, «[uaiid on aura formé les fonctions V y-\ ou Sa, Si, s-,, .... on pourra former les fonctions symétriques de la forme ^a', x', ; quand on aura formé ccIIes-ci, on saura former celles de la forme > y.\ a{ a^ . . . , et ainsi de suite ; on saura donc former les fonctions symétriques entières quelconques des racines d'une équation algébrirpie. D'après la manière dont nous avons procédé, on voit que :
Toute fonction svmétiique rationnelle des racines d'une
cquation algcbriquc s'expiiDic rationncllemcnl au moyen des eoej/ieienls de l'équalion ;
et même :
Toute fonction symétrique e/itièfe des racines d'une équation est une fonction entière des coefficients dii'isés par le coefficient de la plus haute puissance de x dans r équation.
Si Ion divise '^' {x) par '^ {jc) en ordonnant le quotient
suivant les puissances ascendantes de -? le coefficient du |)rc-
mier terme est m, celui du second est — -^j celui du Iroislètne
rttf
est (— 1 — 2 — j etc.. et Ton volt facilement que ces coeffi-
cients ont des degrés croissants d'une unité par rapport à rt,, rtj, . . . ; donc, en général, 5/ est de degré /, entier par rapport aux. coefficients <7|, a.,^ . . ., mais son dénofnlnateur est a^^. D'après la manière dont on Ibrme une fonction svinétrique, on volt que :
Toute fonction symétrique entière des racines d'une équation de degré o par rapport à ces racines sera une fonction rationnelle des coefficients dont le numérateur sera de degré o au plus par rapport aux coefficients et de poids 0, et dont le dénominateur sera la puissance o du coefficient du terme de degré le plus élevé dans l'équation.
Le nombre o est un maximum, pour le degré du numérateur bien entendu; en effet, par exemple, le produit des racines
de Ci = o est— ^; le numérateur est du premier degré, bien que
le produit des racines soit de degré m.
