IV. — Résultante de deux équations

Nous allons montrer comment on {)eul trouver la résultante de deux équations algébrlcpies de la forme

SLK l'élimination. 203

■:> cl <\i désignant deux polynômes entiers en xquc nous sup- |ioserons des degrés m et p. Nous supposerons aussi que cp il •!/ conlicnncnl un paramètre c, de sorte que •:j et '\i seront, ^i l'on veut, des polynômes entiers en x et z de degrés m et />. Soient a,, a^, .... a,„ les racines de tp (jc) = o; la résultante pourra se mettre sous la forme

(•>.) •i/(a|)'^(a2)... 'li-J-ni) = o.

Cette équation exprime, en effet, qu'une au moins des racines de cp = o appartient à 'h = o. La résultante peut é\idcmment aussi se présenter sous la l'orme

j,, 3m • • - désignant les racines de •!/ := o, ou même sous la lorme

(a, -^ %). . . (a„, - %)(oii - '},). . . (^,n - %). . • = o nu

IT(5;/-.3y)^. o;

et l'on voit que le premier membre de cette dernière équation est, à un facteur indépendant de z- près, égal aux premiers membres de (2) et (3). D'ailleurs le premier membre de (2) est symétrique en a,, .... a,„, et par suite rationnel par rapport aux coefficients de 'i et 'l.

Le degré de 'l'(y-i) p^r rapport à z est p, car tous les termes sont du même degré/? par rapport aux variables xt'lz; y-i étant de degré i, d'après ce que l'on a vu § II, il en résulte que le premier membre de (i) est au plus du degré mp par rapport à z. Ainsi :

Théorème. — Le degré de la résultante de deux équations de degrés m et p est égal, au plus, au f)roduit mp des degrés de ces équations.

L'expérience montre que la résultante peut atteindre le degré /»/?, et que, par conséquent; elle l'atteint effectivement dans le cas le plus général.

C II A V I r K K \ I .