V. — Transformation de la résultante

Supposons rt„ = ' et consiJéions le poKnoinc du second degré en ^o, ç,, . . ., ;,„,

tp'(a)(]/(a)

le signe ^ s'étcndant à toutes les racines a de 'z>[x'\ =^ o.

Le discriminant de ce polvn(jnic Q relalivemcnt aux variables ; est égal au discriminant relatif aux variables

qui estTT-7 — -,- — mulliiilié par le carré du déterminant de la substitution (2)

I T., Il ce.

mais ce déterminant est égal au produit des dilTércnces que Ton peut former avec a,, a^. . . ., %,„. Pour évaluer ce produit, on observera que

{X—7.i){X — '-Xi). ..{t~'X,„)= -'^

a- — a et, en faisant jr = a, ,

le déterminant en (pieslion a donc pour carré fl 'v'(a), et le discriminant de la fonction O est

ri -Ha)

) c'est-à-dire l'inverse

du premier membre de la résultante des éf[ualions es ^ o, •L = o.

srn I. 'i' I. iM IN V Tio>. 393

l*o.sons niainlcnaiil

I oq

"icp'(a)«|/(x)'

el prenons pour nouvelles variables r^, x^, . . . , x,, - . . f.a résolution de ces équations par rapport auv a se lera comme il suit :

Appelons )>(,, ^'m^ • • -, ">*v«-i les coefficients de Téqualion

-Xk — :=r o nul admet toutes les racines deo(x)= o excepté a/,

multiplions les équations (3) respectivement par)^^, ).,. ... el ajoutons-les ; nous aurons

'W/i-1 •T'/H — 1 ■ Ui

mais ).u-|- A, a/-h . . . -i- A,„, a'"^' est ce que devient ^J^ pour x = a/, c'est-à-dire -^'(a,); quant au premier membre de ré([iiation [)récédenle, on peut lécnre 'J^ ■> en convenant de remplacer les exposants de x par des indices dans le développement de ce polynôme. On a alors

el l'équalion devient

ou encore

VM^i^ jliLL '■î''-^'

En convenant de faire x\^=Xi^ celte formule i)enl s'écrire (5) yiK)o(.r).(-.r)/, ^^

296 i; II A l' i 1 15 1: X I .

mais on a (p. 29»), on supposant /> 5 ''^5

y - ,/-^ -^ — -- = <V(^)-^ const.,