X —r — - = ^(^ )-*- const.; ^o (a,-) T — ti

la lormulc (j) devient alors

La fonction Q peut donc s'obtenir en faisant x'= x'' ~— Xi dans le développement de

<ii(x)o(x') — ii(x')'Ji(x) x' X

Appelons I le discriminant de () jiar rapport aux .r, J son discriminant par rapport aux n, 0 Je détcj'niinant de la substitution (3); on aura

J ^ Io2 ou l = i-; mais J est éo-al à =, — ,, ^ , , — ; quant à ^j il est éiral à

on a donc

De là celle conclusion :

La rr.siilta/)le des équalions -^ = o, -J; = o est le discriminant du polynôme du second degré obtenu en remplaçant .r' et x'' par Xt dans le développement de l'expression

<||(a7)'.p(:r'^ — '■:iix)^{x') x' — X

L'analyse extrêmement remarquable qui précède est due à i\L Hermite. Auparavant Bézout, Cauchy et M. Cayley avaient indiqué des moyens équivalents pour trouver la résultante, mais il paraissait difficile de montrer directement l'identité de leurs résultantes avec l'équation II 'J>(a)= o.

sril i.'f:i.iM IN ATio.N. '.97

Nous nous bornerons Ici î» cx|)oscr la niélhodr de M. Ca\ h-v, les autres élanl exposées dans les Traités élénienlaires d Al- <^èbre.

VI. — Méthode de M. Cayley. — Recherche de la racine commune.

(conservons les notations des paragraphes préeédenls.

Théorème. — Si zi(x)=o et •1/(j:)=o ont une racine commune x' , il existera des polynômes des degrés p — i <t m — I, à savoir ). et <j., tels que Von ait identiquement

\ I ) ).ç) -r- \ifb — o ;

réciproqueni'^nt, si V identité précédente a lieu, les polynômes \ et \x étant de degrés p — i et m — i , ':> ^=z o et 'Ij = o auront une racine commune.

En effet,

est une identité si x' est une racine commune de 's, = o, •!> = o, el Ion peut écrire celte identité

ce qui di'montre la première partie du tliéorèm?.

Piéciprocjuement, si (i) est une identité, en y faisant j:* = x', il faudra, en supposant à{x') = o, que X-z> = o; donc J.o = o admet les racines de -L ;=: o, et ). = o ne peut les admettre toutes, puisqu'il est de degré inférieur à 'i/= o; donc '^ = o admet au moins une racine de 'l = o; donc les équations ■^ = o, •]/ ^^ o ont une racine commune.

Cela posé, puisque (2) doit être une identité, en égalant à zéro les coeflicients des arguments x", x, x-, . . . , x'""', on aura m équations (E) auxquelles satisfera la solution commune x'; le déterminant égalé à zéro de ces équations (E) du premier degré en x'>,x,x-, . . . sera la résultante cherchée.

298 oii.vPiTin; \i.

Oii pciillo voir en s'appiivanL sur le ihéorèmc tie INI. Ilermilc. car le ([('terminant cil (jueslidn est é\ itlcninicnl le discriniinanl de lalonclion du second degré représentée syrnl){»ll(pienienL par le premier membre de (a), les équations (E) n'élanl aiilre chose que les ilérivécs parlielles de celle fonclion.

Mais on peut le voir directement, en observant que si le déterminant de (E) est nul, les équations (E) ont une solution commune; elles ont alors lieu en même temps. Si on les multiplie par .r", x, x-, ... et si on les ajoute, on retombe sur léqualion (9.) ou (3), qui n"a lieu (pie si les é(piations c; = o, 'i = o ont une solution commune.

La solution commune et ses puissances seront les solutions des équations du premier degré (E) qui se réduisent à /« — ^ i distinctes.