VII. — Résolution de deux équations à deux inconnues
Nous avons vu comment on formait la résultante des deu\ é(pialions
cette résultante sera de la forme Il(:;) = o, R désignant un polyn(jme de degré mp, possédant en général mp racines. Si R est de degré mp — a, nous dirons que la résultante a a racines infinies ('); chacune des racines de la résultante substituée dans les équations (E) dont il a été question tout à l'heure Tournira une solution des équations proposées (1); par conséquent, les équations (1) auront en g'néral inp solutions ; ces solutions pourront d'aillcuis être ( 11 totalité ou eu partie Infinies.
Cependant, si les mineurs du déterminant R(^) étaient tous nuls, les écpialions (E) se réduiraient à ni — 1 distinctes, et l'élimination de j;', ^'', . ..,.r'"~' conduirait à une équation
(') J(; rappelle (\\\i\ i|iiaiiil diiiis mic (''1111311011 ai^'/'hi-iiiue h^s a premiers coefficicnls teniienl vers o, t rariiics auginciileiiL imlcfiiiiiiieiil.
SUR L ' f: r. IM I N A T I O N . 299
(lu soconil degré cn.r; Il laiidrail aloi-s adjoindre deux valeiiis on j" à la valeur corrcspondanlc (Je z. Il est lacilc de voir que, dans ee cas, celle valeur de :; est racine double de R =o; en ellV-l, en appelant i\ e' . . . . les élémenls de 11, on a
mais est un mineur de c, nul par hvpollièse ] on a donc
-— = o et ; est bien racine double de R = o. Oz
Si tous les mineurs du second ordre de R étaient nuls, les équations (E) se réduiraient à m — 5 distinctes, l'élimination de x'' , .r', . . ., x"'~' lournirait une équation en x du Iroisième degré; trois valeurs de x devraient être adjointes à la valeur correspondante de :;, qui serait alors racine triple de
R = o. En effet, non seulement on aurait - = o, mais
oz
d2R y^ / (PR de de' dR d'-e\ 'dz^- ~ j^ \ôede' ôz 'ôz "^ le ôT^ ' '
O-^R ôR j . , ,
et, comme -, et -— sont des mmeurs des deux premiers
deae Oe '
lin • à'-R
ordres de R, on aurait -^^ =^ o, etc.
On peut donc dire qu'en comptant pour deux les solutions doubles, pour trois les solutions triples, etc. :
Deux équations des degrés ni et p ont mpsolutions Jinies ou infinies, lorsque leur résultante n est pas identiquement nulle.
Quand la résultante est identiquement nulle, les é([uations ont, quel que soit r, une solution commune; leurs premiers membres ont un diviseur commun rationnel : ce cas ne se présentera donc jamais quand les équations n'auront pas de diviseur commun rationnel.
On a|)pelle fonctions s) métriques des solutions de plusieurs équations une l'onction de ces solutions, qui ne ebange pas tic valeur fjuand on permute les éléments correspondants
ooo niAPiTui: IX.
(le tleii\ solulions. Ainsi, si a, ^3 ; a', |j' ; ... sont les solutions (les deux (!'qualions (i),
a3-'/3'-a"p"- .... Vx-y^^i, y-xK...
seront des fondions svnK'lriqucs des solutions en question. Puisque |j, ,3', ... s'expriment rationncllemenl au nioven de a. a', ... : Ton t(' fonction symétrique des so/tttions sera une fonction symétrique des a, et par suite une fonction symétrique des racines de la résultante de (i) ei (2); elle s'exprimera donc rationnellement au moyen des coefficients de la résultante, c'est-à-dire au moyen des coefficients de (i) et (i).
