VIII. — Théorème de Bézout

Dans son Ouvrage sur la théorie des (?quatiohs, devenu aujourd'hui fort rare, Bézout a l'ait connaître le théorème suivant :

1'^ La résultante pj-ocenant de l'élimination de n — 1 inconnues entre n équations algébriques de degrés nii,

//?2 m,i à n inconnues peut être /)iise sous la forme d'une

équation entière par rapport à l'inconnue non éliminée, et cette résultante est au plus du degré m^ /n-y • • • ')}„; elle est précisément de ce degré ^ s'il n'existe aucune relation entre les coefficients des équations proposées.

1° Un système de n écpiations à n inconnues des degrés /;?i, /;?2, .... m,i a précisément /», m-^ . . . /»„ solutions, s'il /l'existé aucune relation entre les coefficients de ces équations.

Ce théorème a dû être soupf;onné, hien avant d'être démontré; il est de ceux dont la démonstration peut sans inconvénient se faire sjnthétiquement.

Il a été démontré pour le cas où n = 2; nous allons admettre (|u"il a lieu j)our 2, 3, ..., n écpialions, et nous vérifierons ([u il a lieu pour n 4- t équations.

SLR l'élimination. 3oi