IX. — Développement d'une fonction rationnelle en série
Commençons par cherclier le développement d'une expression de la forme ? m désiijnant un entier positif et a
et .c des quantités quelconques. Si le module de x est plus grand que celui de a, on a
En effet, le second membre de cette formule est une progression géométrique décroissante dont le premier tenue
est - et la raison -; la limite de la somme de ses termes est
bien
ou
Cela posé, je dis que l'on a
en d'autres termes, la formule du binôme s'applique encore au cas où l'exposant est négatif, pourvu que le module de a soit moindre que celui de x. l^^ur démontrer cette for-
Tiif;()Rii: (■fiNftUAi.i: des série?. 89
mule (a), nous allous M^-rificr que, si elle a lieu pour une valeur de m, elle aura encore lieu pour la valeur supérieure d'une unité, et, comme elle a lieu pour ni := i , elle sera générale.
D'abord, je dis que le dernier membre de la formule (2) est une série convergente. En effet, l'expression du rapport diiii terme au précédent est
]intir n = y- . cette ouantité tend vers - • Si donc mod - << i
ou si mod a < modx, la série sera convergente. Nous supposerons donc mod<'/<<'iiodx;en multipliant le dernier membre de la formule (2) par x — a, il devient
/m \ a \m(ni — i) ml a-
Vm(m--\) . . .( m -^ n — il m( m-\-i). . .( m -^ n — 2)]
' L 1 . 2 . 3 . . . rt 1 . 2 ... /i — I J
ou
I m — in ( m — i ) ni a-
{m — \)ni . . .{ni-^ n — 2 )
(^ette quantité, par livpollièse, est é"ale à ——•, la
formule (2) est donc démonti'ée.
La formule du binôme a donc encore lieu pour les valeurs entières et négatives de l'exposant.
Cela posé, considérons une fonction rationnelle de x\ on pourra la décomposi r en un polynôme entier E(j;) et en une
suite de fractions simples de la forme '- Si donc modj;
est supérieur à chacune des quantités mod a, les fractions
; se développeront en série suivant les puissances
de - et la ionction rationnelle se développera elle-même de
4o ClI.Vl'ITli i: M.
celle façon, mais le développcmenL conlicnrJra des Icrmcs enlicrs en .r si le polynôme E(j") n'est pas nul.
Si le module de x n'est pas supérieur au module de toutes les quantités r/. on observera cpie, si mod ,r << modr/. on aura
/ i »? T ni (/;?-!) .r- \
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et alors le développement de la fonction rationnelle aura lieu en une double série ordonnée suivant les puissances de x et de -•
Enfin, si le module de x est moindre que celui de toutes les quantités a, il est clair que la fonction rationnelle sera développable suivant les puissances croissantes de x seulement.
