I -1 I ':ii-~ x\.r.t. . . rici — x\ x!,...r,0 = o

mais la résultante II 1= o devient alors, aux termes du- second ordre près,

( j ) t\ ort 7- où = o.

' Ou <ib

Si la résultante doit rester inaltérée, on aura

-— oa -. — -j- 06 = o; ua ôb

àOT CIIAPITHE XI.

mais, si Ton observe que dans (4) '-^i csl nul, il \jcnilia

j-\ .ri . . .^jh - .v'[x'i. . .Zb - o. De CCS deux écjualions on lire

( b ) -— . X . xi, . . . = —j : X . x , . . . .

(]cs équations et leurs analogues feront connaître tous les

argunicnls x\ xi • • •, rationnellenienl, en fonelion des eoef-

(ieienls de R, c'est-à-dire de c5|, 'j;^, • • • "n de x„. (On voit

(juo, par exemple, pour calculerai, on j)ourra supposer que

a et b sont dans cpi les coellicients de .r^ j-'l ... et de .r,; on

aura alors

Il résulte de là que toute l'onction symétrique rationnelle des solutions de (i), peut être considérée comme une fonction symétrique rationnelle des racines de R ^^ o et potu'ra s'exprimer rationnellement avec les coefficients de (i). c. o. f. p.

Cette conclusion suppose bien entendu que nos équations (i) sont tout à fait générales, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de

relations entre leurs coefficients. Nos raisonnements tombe-

,,. , . àR dl\ , . . . ÔR

raient en delaut si -r— et -vr étaient nuls; mais-— = o serait àa oo àa

une relation entre les coefficients de(i), cas <|uc nous excluons parce (juc nous n'avons pas besoin de le considérer.

, . .... . . dR àR , . 1 I w • / - \

Cjuoi (|u il en soit, si -— - et — ,- étaient nuls, 1 eciualion (o)

pourrait être remplacée par

H -i- - -— r c-rt'-f 1 - — -j- oao6 -I — ot<-

■j. ^ 'la- ôaôb Ob-

et Féq nation

-— {x\x!,...)^—i—--j x\ ''xi^'i-^...-'^ --- {x\xi...)'- = o iki- i)a))b - <)b- ^ * ■' '

remplacerait, pour le calcul des arguments, l'équation illusoire

'^ . . i ^ ,< 7 Oa "''''- ^^^i-'i---'

SIR l' f;i. m 1 NATION. 3o3

mais celle romanjuc est imililc pour rolijd (]tie nous avons on \ue.

Lem.mi-: JII. — 6/ les ('(/i/ado/is (i) co/i/ic/i/ic/il des jforanirtrrs z, z\ z" , ... rf conscr\c/it leurs degrés /»,, //?o, . . . en tcnanl compte deiDS l' évaluation de ces degrés des fiaraniètres c, c', z" , .... toute fonction symétrique entière lie leurs solutions sera entière par iripport c( z, z', z". ....

Kn cITt't, Il coMlicnl j:,/ cl ;, z\ ... sous forme cnlicrc au (Icgic Uni. Le coefficient de ic„"' ne contienl pas z, z'. . . .; donc les fonclions symétriques entières des solutions de (i), (|ui sont des fonctions symétriques entières des racines de K = o, seront entières en z, z', ... ; elles pourront toutefois contenir en dénominateur les coefficients des termes des degrés les plus éleyés, de '^i, c;,

Nous avons maintenant tous les éléments nécessaires |iour aborder la démonstration du théorème de Bé/oul.

Supposons qu'il s'agisse d'éliminer j:,, .r.,. .... j"„ entre les équations (i) et (2); nous supposerons que les équations (1) et (2) contiennent un paramètre z sous forme entière et (onseryenl leurs degrés en tenant comple de ce paramèlrc z, dans l'évaluation de leurs degrés. En yerlu du lemme I, la résultante cherchée pourra être présentée sous la forme

Il I'( a/,, a/0, %/„) ^: o.

Mais le premier inemhre de cette équation est une fonction symétrique entière des solutions des équations (i) : il sei-a donc entier et rationnel en :; ; or le poids de F cslp, p désignant le degré de l'équation (2) en j",, x-^^ r,^, z. Le

poids de IlF, ou son degré en ;, sera donc pWm^ ce qui démontre le théorème de Bézoul, ou du moins ce qui prouve <pie le degré de la résultante ne dépassera pas />!!//?, car certaines réductions pourraient s'opérer dans les calculs et faire évanouir le coefficient de la plus haute puissance de z.

On ])eut montrer sur un cas j^articulier que la résultante

J04 en A PITRE XI.

(^st de degré pUm et, par conséquent, qu'elle ne peut pas être de tlegré inlV-rieur dans le cas g;éii('ral. Considérons en ellel les écpialions

(«ll-2'l-i- «12^2 — •••-+-«!«•?'« — «1«--I -)•••(«/;,, 1. ri -;-«,„, 2^2-^- ---J- «/H, «4-1 -t^O.

(/jii.rj — bi2T.î — . . ~ iw,4-i- ) . .( ''•',«, iJ^i—. . .-r- b„,,„+iz) — o, )

(/il JTl-l- /ija"* — . . .-i- /i„-j-i-3J . . . ( /y,|^l^. . .-^ /p„^iZ) = O.

Des premières on déduira îl/ii systèmes de valeurs jiour.r,. jc-j, . . . , .r,i proportionnelles à :; et que l'on pourra considérer comme tout à lait quelconques ; la résultante effectuée, comme il a été expliqué, aura pour premier membre le produit de ~/>\l/n paj. ^ij^g quantité constante difl'érenle tic zéro si l'on choisit convenablement les /,,.