IX. — Sur l'équivalence des polynômes

Soient 'j;, , 'i.i. . . . /i,, des polvnomes entiers en^i ,,ro, . . . ,a",, des degrés respectils /n,, f)i.2, . . ., />?«. Nous dirons que deux polynômes F" et /sont équivalents par rapport aux diviseurs '.i,, 'jjo. . . .;, '.p„, quand il existera des polynômes entiers À,, Ao, . . . , ).,/, eu X|, x-y-, • • • 1 JC,i, tels que Ton ait identiquement

(l) F = Xi'.5,-:-X2»2-}-...-- l.,Z,n~/-

Lu polynôme / sera dit réduit par rapport aux diviseurs 'i,, 'c>2^ • • -, 'fw et par rapport aux variables x,, x^i . . .^ x„ (prises dans cet ordre, si /??i, m... . . . , ni,i ne sont pas égaux)

quand il ne contiendra pas de ternies divisibles par j:*"'',

fin. T^^ii

"^ j - 5 • • • 1 •*' Il •

Réduire un polynôme, c'est trouver son équivalent réduit.

Nous ne tarderons pas à voir quen général il n'existe qu'une manière de réduire un polynôme donné : cette proposition, toutefois, est sujette à des exceptions.

Dans ce qui va suivre, nous supposerons que les polynômes '^contiennent des variables z, z' , ... qui entrent dans chaque terme à un degré égal au poids de ce ternie.

Sun l/ ÉLIMINATION. 3o5

TiiKonÈMF.. — Le nombre des larmes d'un polynôme rcdiiit par rapport aux fonctions o,, cp^, ... est \\m.

En etTel, .

..- jC, x\ -...-:- x;"'-' )(I -- X., H. . . - a:;"»-1). . .(I --.'Xn -f-. . .4- <'"-')

est un polvnùinc rcduil dont tous les coefficients sont égaux à i; le nombre de ses termes s'obtiendra donc en faisant jT, = 0:0=: . . .== j:„= I, ce qui donnera Wm. C'est le nombre des termes d'un polynôme réduit quelconque.